Типичные ошибки ЕГЭ по математике: разбор по заданиям

Профильный ЕГЭ по математике — экзамен, где самые обидные потери происходят не на 18-м задании с параметром, а на первой части. Ты решил всё, а в бланке — три минус-балла: не проверил корень иррационального уравнения, в задаче про экстремум записал точку вместо значения, в тригонометрии потерял серию, разделив на синус. Каждая такая ошибка на профиле стоит 1 первичный балл, а в пересчёте — от 3 до 7 тестовых.

Ниже — самые частые ошибки по заданиям, каждая с задачей и полным решением: где именно теряется балл и какой приём его спасает. Нумерация — по демоверсии ФИПИ; сверься с актуальной на fipi.ru, потому что порядок заданий время от времени меняют.

Карта потерь по заданиям

Задание 6. Иррациональное уравнение без проверки

Задача. Решите уравнение √(3x + 1) = x − 1. Если корней несколько, в ответ запишите меньший.

Решение.

1. Возводим обе части в квадрат: 3x + 1 = (x − 1)², то есть 3x + 1 = x² − 2x + 1.
2. Переносим: x² − 5x = 0, x(x − 5) = 0. Кандидаты: x = 0 и x = 5.
3. Проверка — обязательна: при возведении в квадрат могли появиться лишние корни.
   • x = 0: левая часть √1 = 1, правая 0 − 1 = −1. 1 ≠ −1 — не корень.
   • x = 5: левая √16 = 4, правая 5 − 1 = 4. Верно.
4. Единственный корень — 5. Фраза «если корней несколько» — ловушка: корень один.

Ответ: 5.

Где теряют балл: находят 0 и 5, читают «меньший» и пишут 0. Правая часть x − 1 — это значение квадратного корня, а он не может быть отрицательным. Проверка подстановкой занимает 20 секунд и спасает балл в каждом втором варианте с корнем.

Совет: в любом уравнении с корнем, логарифмом или дробью после нахождения корней — подстановка в исходное. Не в преобразованное, а в исходное.

Задание 7. Свойства степеней и логарифмов

Задача. Найдите значение выражения 7^(log₇ 5 + 1).

Решение.

1. Степень с суммой в показателе — произведение степеней: 7^(log₇ 5) · 7¹.
2. Основное логарифмическое тождество: 7^(log₇ 5) = 5.
3. 5 · 7 = 35.

Ответ: 35.

Где теряют балл: считают 7^(log₇ 5 + 1) = 5 + 1 = 6 или 5 + 7 = 12. Показатель — это сумма, значит, степени перемножаются.

Задача. Найдите значение выражения log₆ 12 + log₆ 3.

Решение. Сумма логарифмов по одному основанию — логарифм произведения: log₆ (12 · 3) = log₆ 36 = 2, потому что 6² = 36.

Ответ: 2.

Ошибка — сложить аргументы: log₆ 15. Сумма логарифмов — произведение, разность — частное.

Задание 8. Производная по графику: знак и точки

Задача. Прямая, касающаяся графика функции y = f(x), проходит через точки (−3; 2) и (5; 6). Найдите f'(x₀) в точке касания.

Решение.

1. Производная в точке касания — это угловой коэффициент касательной.
2. Угловой коэффициент прямой через две точки: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) = (6 − 2) / (5 − (−3)) = 4 / 8 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Где теряют балл: 5 − (−3) считают как 2, а не 8. Или делят «x на y». Порядок: разность игреков делить на разность иксов, в одном и том же порядке точек.

Вторая ловушка этого задания — когда дан график производной, а спрашивают про функцию. Если f'(x) > 0 на отрезке, функция там возрастает; точка, где f' меняет знак с плюса на минус, — максимум функции. Отметь на графике, что именно нарисовано: f или f'. Это разные вопросы с разными ответами.

Задание 9. Прикладная задача: не тот вопрос

Задача. Высоту над землёй подброшенного мяча описывает формула h(t) = 1,6 + 8t − 5t² (h — в метрах, t — в секундах). Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее 3 метров?

Решение.

1. Условие: 1,6 + 8t − 5t² ≥ 3.
2. Переносим: −5t² + 8t − 1,4 ≥ 0, умножаем на −1 (знак меняется): 5t² − 8t + 1,4 ≤ 0.
3. Корни: D = 64 − 4 · 5 · 1,4 = 64 − 28 = 36, √D = 6. t = (8 ± 6) / 10: t₁ = 0,2, t₂ = 1,4.
4. Парабола ветвями вверх, неравенство ≤ 0 выполняется между корнями: 0,2 ≤ t ≤ 1,4.
5. Вопрос — сколько секунд, то есть длительность: 1,4 − 0,2 = 1,2.

Ответ: 1,2.

Где теряют балл: пишут 1,4 (момент, когда мяч опустится ниже 3 м) или 0,2. Задание спрашивает промежуток времени, а не момент. Второе — забывают сменить знак при умножении на −1.

Задание 10. Текстовая задача: уравнение не по условию

Задача. Моторная лодка прошла 36 км по течению реки и 36 км обратно, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения 3 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение.

1. Пусть собственная скорость — x км/ч. По течению — x + 3, против — x − 3.
2. Время по течению 36 / (x + 3), против — 36 / (x − 3). Сумма — 5 часов: 36 / (x + 3) + 36 / (x − 3) = 5.
3. Умножаем на (x + 3)(x − 3) = x² − 9: 36(x − 3) + 36(x + 3) = 5(x² − 9).
4. 36x − 108 + 36x + 108 = 5x² − 45, то есть 72x = 5x² − 45.
5. 5x² − 72x − 45 = 0. D = 72² + 4 · 5 · 45 = 5184 + 900 = 6084, √D = 78.
6. x = (72 ± 78) / 10: x₁ = 15, x₂ = −0,6. Скорость отрицательной не бывает — отбрасываем.
7. Проверка: 36/18 = 2 ч, 36/12 = 3 ч, итого 5. Сходится.

Ответ: 15.

Где теряют балл: (а) складывают скорости не в ту сторону (против течения — x + 3); (б) забывают отбросить отрицательный корень или пишут его; (в) решают правильно, но в ответ записывают скорость по течению (18). Проверка подстановкой в условие — обязательна: если 15 не даёт 5 часов, где-то ошибка.

Задание 12. Экстремум: x или y?

Задача. Найдите наименьшее значение функции y = x³ − 27x + 5 на отрезке [0; 4].

Решение.

1. Производная: y' = 3x² − 27.
2. Нули производной: 3x² = 27, x² = 9, x = ±3. В отрезок [0; 4] попадает только x = 3.
3. Считаем значение функции в критической точке и на концах отрезка:
   • y(0) = 0 − 0 + 5 = 5;
   • y(3) = 27 − 81 + 5 = −49;
   • y(4) = 64 − 108 + 5 = −39.
4. Наименьшее из трёх: −49.

Ответ: −49.

Где теряют балл: в ответ пишут 3 — точку, а спрашивали значение. Формулировка «найдите точку минимума» — ответ x; «найдите наименьшее значение» — ответ y. Подчёркивай слово «точку» или «значение» в условии. Вторая ошибка — забыть про концы отрезка: иногда минимум именно там.

Задание 13. Тригонометрия: потерянная серия и отбор корней

Задача. а) Решите уравнение 2sin²x − sin x = 0. б) Найдите корни на отрезке [−π; π/2].

Решение.

а) Выносим общий множитель — не делим на sin x: sin x · (2 sin x − 1) = 0.

Два случая:

• sin x = 0 → x = πn, n ∈ ℤ.
• 2 sin x − 1 = 0 → sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, k ∈ ℤ.

б) Отбор на [−π; π/2]:

• Серия πn: при n = −1 → −π (левый конец, входит); n = 0 → 0; n = 1 → π — больше π/2, не входит. Берём −π и 0.
• Серия π/6 + 2πk: k = 0 → π/6 (меньше π/2, входит); k = −1 → −11π/6 — меньше −π, не входит. Берём π/6.
• Серия 5π/6 + 2πk: k = 0 → 5π/6 — больше π/2, нет; k = −1 → −7π/6 — меньше −π, нет. Ничего.

Ответ: а) πn; π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk, n, k ∈ ℤ. б) −π; 0; π/6.

Где теряют балл: (а) делят обе части на sin x и теряют всю серию πn — минус балл за пункт а) и минус за б), потому что −π и 0 пропали; (б) не проверяют концы отрезка: −π входит, потому что скобка квадратная; (в) для sin x = 1/2 записывают только π/6 + 2πk, забыв 5π/6. Отбор надёжнее делать на единичной окружности: нарисовал дугу от −π до π/2, отметил точки серий, оставил те, что попали.

Ошибка: «сокращать» уравнение на sin x, cos x или любой множитель с иксом. Так исчезает серия корней, а проверяющий это видит сразу.

Задание 15. Логарифмическое неравенство: основание меньше 1

Задача. Решите неравенство log₁/₂ (x − 1) ≥ −2.

Решение.

1. ОДЗ: x − 1 > 0, то есть x > 1.
2. Представим −2 как логарифм по тому же основанию: −2 = log₁/₂ (1/2)⁻² = log₁/₂ 4.
3. Неравенство: log₁/₂ (x − 1) ≥ log₁/₂ 4. Основание 1/2 < 1 — функция убывающая, знак меняется: x − 1 ≤ 4, откуда x ≤ 5.
4. Пересекаем с ОДЗ: 1 < x ≤ 5.

Ответ: (1; 5].

Где теряют балл: (а) не меняют знак при основании меньше 1 и получают x ≥ 5; (б) забывают ОДЗ и пишут (−∞; 5] — включая числа, при которых логарифма не существует. Из-за пропущенного ОДЗ в ответ попадают лишние числа, и за задание 15 теряется балл, а чаще оба.

Как проверять первую часть

Чек-лист на последние 15 минут:

1. Задание 6 — подставил корень в исходное уравнение? «Больший/меньший» — тот?
2. Задание 9 — ответил на вопрос «сколько секунд/метров/рублей», а не на «когда»?
3. Задание 10 — подставил ответ в условие задачи (не в уравнение — в условие)?
4. Задание 12 — спрашивали точку или значение?
5. Задание 13 — не делил на sin/cos? Проверил концы отрезка при отборе?
6. Задание 15 — есть ОДЗ? Основание меньше 1 — знак поменял?
7. Бланк — ответы перенесены, десятичные дроби через запятую, минус в отдельной клетке.

Пример: на пробнике Настя решила всё, кроме последних заданий, а баллов вышло заметно меньше, чем она ожидала. Разбор показал: посторонний корень в 6-м (записала 0), «точка» вместо «значения» в 12-м, потерянная серия в 13-м (делила на sin x), нет ОДЗ в 15-м. Четыре ошибки — минус пять первичных баллов, а это около десяти тестовых. На экзамене она прошла по чек-листу и не потеряла на этих местах ничего.

Типичные ошибки

• Не проверять корни уравнений с корнем, логарифмом, дробью.
• Делить уравнение на выражение с неизвестной — теряется серия.
• Забывать ОДЗ в логарифмических и дробных неравенствах.
• Не менять знак при основании логарифма меньше 1, при умножении неравенства на −1.
• Путать точку экстремума и значение функции.
• Отвечать не на вопрос: момент вместо длительности, скорость по течению вместо собственной, больший корень вместо меньшего.
• Игнорировать концы отрезка — и в задаче на минимум, и при отборе корней.
• Складывать аргументы логарифмов вместо перемножения.
• Забыть перенести ответы в бланк или записать дробь через точку вместо запятой.

Частые вопросы

На чём чаще всего теряют баллы на ЕГЭ по профильной математике?

На первой части: посторонние корни без проверки (6), ответ не на тот вопрос (9, 10, 12), потерянные серии и неправильный отбор в тригонометрии (13), отсутствие ОДЗ и знак при основании меньше 1 в неравенстве (15). Это не незнание, а отсутствие проверки — и лечится чек-листом.

Как правильно отбирать корни в 13 задании ЕГЭ?

Через единичную окружность или числовую прямую: нарисуй отрезок, выпиши каждую серию отдельно и подставляй целые n подряд (−2, −1, 0, 1, 2), пока не выйдешь за границы. Концы отрезка проверяй отдельно: квадратная скобка — конец входит.

Нужно ли записывать ОДЗ в 15 задании?

Обязательно. Без ОДЗ ответ будет содержать числа, при которых логарифм или дробь не существуют, — а это неверный ответ и потеря баллов за всё задание. ОДЗ записывай первой строкой, до любых преобразований.

Сколько баллов даёт первая часть ЕГЭ по математике?

Задания 1–12 — по 1 первичному баллу каждое, итого 12 первичных. Этого хватает примерно на 60–65 тестовых баллов по шкале последних лет. Задание 13 добавляет 2, 15 — 2, 16 — 2. Актуальную шкалу перевода смотри на fipi.ru.

Как готовиться, если постоянно ошибаюсь в одном и том же?

Заведи тетрадь ошибок: каждая ошибка — одна строка с правилом своими словами. Перед каждым вариантом читай её. Если не понимаешь, почему решение неправильное, — спроси разбор конкретного задания в Razbery: там объясняют логику, а не выдают ответ.

Что дальше

• Профильная математика ЕГЭ: план подготовки
• Разбор тригонометрии
• Разбор логарифмов
• Разбор производной
• Как решать варианты ЕГЭ правильно
• Спросить разбор задания, которое не сходится: Razbery