Тригонометрия: разбор от круга до уравнений

Тригонометрия — единственная тема школьной математики, которую заваливают даже те, у кого до этого были пятёрки. Причина простая: в 8 классе синус был «отношением противолежащего катета к гипотенузе», а в 10-м вдруг стал «ординатой точки на круге», и у него появились отрицательные значения, формулы приведения, а в ответах — какие-то πn.

Между этими двумя картинками нет пропасти. Есть один мостик — единичная окружность. Если понять её один раз, вся тригонометрия перестаёт быть набором формул и становится геометрией, которую видно глазами.

В статье пройдём путь от треугольника до уравнений: круг, значения, знаки, формулы приведения, основные тождества, простейшие уравнения и отбор корней. Пять задач разобраны пошагово.

Откуда взялись синус и косинус

В прямоугольном треугольнике с острым углом α:

• sin α = противолежащий катет / гипотенуза,
• cos α = прилежащий катет / гипотенуза,
• tg α = противолежащий / прилежащий = sin α / cos α,
• ctg α = прилежащий / противолежащий = cos α / sin α.

Ключевая мысль: это отношения, а не длины. Увеличь треугольник в 10 раз — синус не изменится. Синус зависит только от угла. Поэтому его можно посчитать один раз и записать в таблицу.

Таблица, которую придётся знать наизусть (её не дают на ЕГЭ):

Заметь закономерность: синусы идут √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Косинусы — те же числа в обратном порядке. Это не совпадение: cos α = sin (90° − α).

Совет: не учи таблицу как стихотворение. Нарисуй равносторонний треугольник со стороной 2, раздели пополам — получишь катеты 1 и √3, гипотенузу 2. Отсюда все значения для 30° и 60°. Для 45° — квадрат со стороной 1 и диагональю √2.

Тригонометрический круг: главный инструмент

Треугольник не умеет работать с углами больше 90° и с отрицательными. Круг умеет.

Берём окружность радиуса 1 с центром в начале координат. Угол откладываем от положительного направления оси x против часовой стрелки. Получаем точку на окружности. Тогда:

• cos α — это координата x этой точки,
• sin α — координата y.

Всё. Из этого определения вытекает вся тригонометрия:

1. Синус и косинус всегда от −1 до 1 — потому что точка не выходит за круг радиуса 1.
2. sin² α + cos² α = 1 — это теорема Пифагора для радиуса: x² + y² = 1. Основное тригонометрическое тождество.
3. Знаки по четвертям: в I четверти x > 0, y > 0 — всё положительно. Во II (90°–180°) x < 0 — косинус отрицателен, синус положителен. В III оба отрицательны. В IV синус отрицателен, косинус положителен.
4. Период: через 360° (2π) точка возвращается на место, поэтому sin (α + 2π) = sin α.

Радианы — это просто другая единица угла. Полный круг 360° = 2π, значит 180° = π, 90° = π/2, 30° = π/6. Перевод: градусы × π/180.

Пример: найти sin 150°. Откладываем 150° против часовой — попадаем во II четверть. Точка симметрична точке 30° относительно оси y: та же высота, x с другим знаком. Значит sin 150° = sin 30° = 1/2, cos 150° = −cos 30° = −√3/2.

Формулы приведения без зубрёжки

Формулы приведения — это правило, как свести sin 150° к sin 30°. В учебнике их два десятка. Вместо зубрёжки — два вопроса:

1. Меняется ли функция? Если угол вида π/2 ± α или 3π/2 ± α (вертикальная ось) — синус меняется на косинус и наоборот. Если π ± α или 2π ± α (горизонтальная ось) — функция остаётся.
2. Какой знак? Считаем α острым, смотрим, в какой четверти оказывается угол, и берём знак исходной функции в этой четверти.

Проверим на cos (π − α). Ось горизонтальная — функция остаётся косинусом. Угол π − α во II четверти, косинус там отрицателен. Итог: cos (π − α) = −cos α.

Ещё: sin (3π/2 + α). Ось вертикальная — синус превращается в косинус. Угол 3π/2 + α в IV четверти, синус там отрицателен. Итог: −cos α.

Формулы, которые нужны в задачах

Из основного тождества sin² α + cos² α = 1 получаются ещё два, если разделить на cos² или sin²:

• 1 + tg² α = 1/cos² α,
• 1 + ctg² α = 1/sin² α.

Формулы двойного угла:

• sin 2α = 2 sin α cos α,
• cos 2α = cos² α − sin² α = 1 − 2 sin² α = 2 cos² α − 1.

Формулы суммы (из них выводится всё остальное):

• sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β,
• cos (α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β.

Обрати внимание на знак в косинусе — он противоположный. Это самая частая ошибка на контрольных.

Задача 1. Найти косинус по синусу

Условие. sin α = 3/5, π/2 < α < π. Найти cos α и tg α.

Шаг 1. Из основного тождества: cos² α = 1 − sin² α = 1 − 9/25 = 16/25.

Шаг 2. cos α = ±4/5. Два знака — надо выбрать.

Шаг 3. Угол во II четверти (π/2 < α < π). Косинус там отрицателен. Значит cos α = −4/5.

Шаг 4. tg α = sin α / cos α = (3/5) / (−4/5) = −3/4.

Ответ: cos α = −4/5, tg α = −3/4.

Вся суть задачи — в шаге 3. Без условия про четверть ответ был бы неоднозначен. Тройка-четвёрка-пятёрка — египетский треугольник, он появляется в половине таких задач.

Задача 2. Вычислить через формулы приведения

Условие. Найти значение 4 sin 210° · cos 300°.

Шаг 1. 210° = 180° + 30°. Горизонтальная ось — синус остаётся синусом. III четверть, синус отрицателен: sin 210° = −sin 30° = −1/2.

Шаг 2. 300° = 360° − 60°. Горизонтальная ось — косинус остаётся. IV четверть, косинус положителен: cos 300° = cos 60° = 1/2.

Шаг 3. 4 · (−1/2) · (1/2) = −1.

Ответ: −1.

Задача 3. Простейшее уравнение с синусом

Условие. Решить 2 sin x − 1 = 0.

Шаг 1. sin x = 1/2.

Шаг 2. На круге: где y = 1/2? Горизонтальная прямая на высоте 1/2 пересекает окружность в двух точках: под углом π/6 (I четверть) и π − π/6 = 5π/6 (II четверть).

Шаг 3. Добавляем период. Обе точки повторяются через 2π:

x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn, n ∈ ℤ.

Шаг 4. Свёрнутая запись из учебника: x = (−1)^n · π/6 + πn. Проверь: при n = 0 — π/6, при n = 1 — −π/6 + π = 5π/6. Обе серии на месте.

Ответ: x = (−1)^n · π/6 + πn, n ∈ ℤ.

Общие формулы (лучше понимать через круг, чем помнить):

При |a| > 1 уравнения sin x = a и cos x = a решений не имеют — точка не может выйти за круг.

Задача 4. Уравнение, сводящееся к квадратному

Условие. Решить 2 cos² x + 3 cos x − 2 = 0.

Шаг 1. Замена t = cos x, где −1 ≤ t ≤ 1. Получаем 2t² + 3t − 2 = 0.

Шаг 2. Дискриминант: D = 9 + 16 = 25, √D = 5. Корни: t = (−3 ± 5)/4, то есть t = 1/2 и t = −2.

Шаг 3. t = −2 не подходит: косинус не бывает меньше −1. Остаётся cos x = 1/2.

Шаг 4. На круге x = 1/2 — точки под углами ±π/3. С периодом: x = ±π/3 + 2πn.

Ответ: x = ±π/3 + 2πn, n ∈ ℤ.

Ошибка: записать в ответ оба корня квадратного уравнения. cos x = −2 — не уравнение, а пустое множество. Проверка −1 ≤ t ≤ 1 обязательна.

Задача 5. Отбор корней на отрезке (задание 13 ЕГЭ)

Условие. а) Решить sin 2x = cos x. б) Найти корни на отрезке [π; 5π/2].

Шаг 1. Раскрываем двойной угол: 2 sin x cos x = cos x.

Шаг 2. Переносим всё влево и выносим множитель: cos x (2 sin x − 1) = 0. Делить на cos x нельзя — потеряем корни, где он равен нулю.

Шаг 3. Произведение равно нулю — хотя бы один множитель ноль:

• cos x = 0 → x = π/2 + πn;
• sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk.

Ответ (а): π/2 + πn; π/6 + 2πk; 5π/6 + 2πk, n, k ∈ ℤ.

Шаг 4. Отбор на [π; 5π/2]. Перебираем каждую серию:

• π/2 + πn: при n = 1 — 3π/2 (входит, π ≤ 3π/2 ≤ 5π/2); при n = 2 — 5π/2 (входит, граница включена); при n = 0 — π/2 < π, не входит.
• π/6 + 2πk: при k = 1 — π/6 + 2π = 13π/6 ≈ 2,17π (входит); при k = 0 — π/6, не входит.
• 5π/6 + 2πk: при k = 0 — 5π/6 < π, не входит; при k = 1 — 5π/6 + 2π = 17π/6 ≈ 2,83π > 2,5π, не входит.

Ответ (б): 3π/2; 13π/6; 5π/2.

Отбор удобнее делать на круге: отрезок [π; 5π/2] — это полтора оборота от точки π. Отмечаешь все точки серий, смотришь, какие попали.

Как оформлять решение

1. Перепиши уравнение и укажи ОДЗ, если есть тангенс или деление (cos x ≠ 0).
2. Приведи к одной функции: через тождества, формулы двойного угла, разложение на множители.
3. Никогда не дели на выражение с переменной — выноси за скобку.
4. Проверь, что найденное значение синуса/косинуса лежит в [−1; 1].
5. Запиши серии корней с n ∈ ℤ. Без этого приписка — минус балл.
6. При отборе — перебирай n по порядку, показывая, почему остановился.

Типичные ошибки

Путают знак в формуле косинуса суммы. cos (α + β) = cos α cos β − sin α sin β. Минус! У синуса плюс, у косинуса минус.

Делят на cos x или sin x. Теряют серию корней. Вместо деления — вынос множителя.

Забывают n ∈ ℤ. Ответ x = π/6 вместо x = π/6 + 2πn — это один корень из бесконечного множества.

Пишут sin x = 2 и решают дальше. Уравнения с |a| > 1 не имеют решений, точка.

Берут знак наугад при извлечении корня из cos² α. Сначала четверть, потом знак.

Путают sin² x и sin x². sin² x = (sin x)², а sin x² — синус от икс в квадрате. Разные функции.

Считают π = 180 в вычислениях. π — это число 3,14…, а «180°» — это π радиан. В ответах уравнений π оставляют как есть, не переводят в градусы.

Частые вопросы

Что такое синус и косинус простыми словами?

Возьми окружность радиуса 1 и точку на ней под углом α. Косинус — это координата x этой точки, синус — координата y. В прямоугольном треугольнике то же самое: отношение катетов к гипотенузе. Это не длины, а числа от −1 до 1, зависящие только от угла.

Как запомнить таблицу значений синуса и косинуса?

Синусы 0°, 30°, 45°, 60°, 90° — это √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2, то есть 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1. Косинусы — те же числа задом наперёд. Тангенс — синус делить на косинус. Остальные углы выводи через круг и формулы приведения.

Зачем нужны радианы, если есть градусы?

Радиан — это угол, при котором длина дуги равна радиусу. В радианах формулы производных и физики выглядят просто: (sin x)' = cos x. В градусах пришлось бы везде таскать множитель π/180. Перевод: 180° = π, дальше пропорцией.

Как пользоваться тригонометрическим кругом?

Отложи угол от оси x против часовой стрелки. Опусти перпендикуляры на оси: на оси x получишь косинус, на оси y — синус. Для уравнения sin x = a проведи горизонтальную прямую y = a — точки пересечения с кругом и есть решения, а дальше добавляй 2πn.

Почему в ответе тригонометрического уравнения бесконечно много корней?

Потому что функции периодические: через каждые 2π точка на круге возвращается на то же место, и синус принимает то же значение. Поэтому решение записывают серией: x = π/6 + 2πn, где n — любое целое число. Если в задаче нужен отрезок, из серии отбирают конкретные значения.

Что дальше

• Производная: смысл правила и разбор задач — следующая тема после тригонометрии, там (sin x)' = cos x.
• Векторы: разбор задач по геометрии и физике — угол между векторами считается через косинус.
• Типичные ошибки ЕГЭ по математике: разбор по заданиям — задание 13 с отбором корней там разобрано отдельно.
• 10 самых сложных тем школьной математики с разбором — тригонометрия там, конечно, есть.
• Не понял, откуда взялась серия корней в конкретном уравнении — спроси в Razbery: покажут на круге и объяснят отбор.