Логарифмы для чайников: разбор с нуля

Десятый класс, учитель пишет на доске log₂ 8 = 3 и говорит «это очевидно». Для половины класса очевидно только одно: пора искать репетитора. Слово «логарифм» звучит как диагноз, а свойства в учебнике выглядят как страница из книги заклинаний.

На самом деле логарифм — это один вопрос, заданный по-другому. Ты уже умеешь его решать, просто не знал, что это называется логарифмом. И все свойства — это переписанные свойства степеней, которые ты проходил в 7 классе.

Разберём с нуля: что это, зачем, как считать в уме, откуда берутся свойства и как решать типовые задачи из ЕГЭ. Пять задач с полным решением — внутри.

Логарифм — это вопрос «в какую степень?»

Вот вопрос: «В какую степень надо возвести 2, чтобы получить 8?» Ответ: в третью, потому что 2^3 = 8.

А теперь то же самое на языке математики: log₂ 8 = 3. Читается «логарифм восьми по основанию два равен трём».

Всё. Это и есть определение:

log_a b = c означает, что a^c = b.

Число a — основание (то, что возводим), b — то, что хотим получить, c — ответ (показатель степени).

Потренируйся, не глядя на ответы:

Последние три строки — самые полезные. Логарифм может быть отрицательным (если результат меньше 1) и дробным (если результат — корень из основания). И два железных факта: log_a 1 = 0 всегда, log_a a = 1 всегда.

Совет: увидел логарифм — переведи его в вопрос словами. «Три в какой степени — 81?» Мозг отвечает быстрее, чем ты вспомнишь хоть одну формулу.

Ограничения: что можно писать под логарифмом

У логарифма есть область допустимых значений (ОДЗ), и на ней ловят в каждом уравнении:

• Основание a > 0 и a ≠ 1. Единица в любой степени даёт единицу, поэтому log₁ 5 не имеет смысла. Отрицательное основание даёт скачущие знаки.
• Аргумент b > 0. Положительное число в любой степени положительно, поэтому log₂ (−8) и log₂ 0 не существуют.

Первое, что делаешь в логарифмическом уравнении — выписываешь ОДЗ. Не в конце, а в начале. Иначе получишь лишний корень и потеряешь балл.

Три особых логарифма

• Десятичный lg b = log₁₀ b. lg 100 = 2, lg 0,001 = −3. Удобен, потому что показывает порядок числа.
• Натуральный ln b = log_e b, где e ≈ 2,718 — число, которое появляется само собой в физике, экономике и всём, что растёт «пропорционально себе». В школе ln нужен в основном для производных.
• Двоичный log₂ b — информатика: log₂ 1024 = 10, поэтому 1024 значения кодируются 10 битами.

Свойства логарифмов: откуда они берутся

Каждое свойство — это свойство степеней, переведённое на язык логарифмов. Не запоминай, а понимай:

Покажу на первом, откуда оно берётся. Пусть log_a x = m и log_a y = n. Тогда x = a^m, y = a^n. Перемножим: xy = a^m · a^n = a^(m+n). Значит log_a (xy) = m + n = log_a x + log_a y. Умножение чисел превратилось в сложение показателей — вот и вся идея логарифма.

Именно за это их и придумали в XVII веке: до калькуляторов астрономы перемножали огромные числа, складывая их логарифмы по таблицам.

Чего нет: log_a (x + y) ничему не равен. Сумма под логарифмом не раскрывается. И log_a x · log_a y не сворачивается в один логарифм.

Формула перехода к новому основанию нужна, когда основание неудобное: log₈ 32 = log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3. Полезное следствие: log_a b = 1 / log_b a.

Задача 1. Вычислить логарифм с «неудобными» числами

Условие. Найти log₈ 32.

Шаг 1. Переводим в вопрос: 8 в какой степени равно 32? Целого ответа нет, значит ищем дробный.

Шаг 2. Приводим оба числа к одному основанию: 8 = 2^3, 32 = 2^5.

Шаг 3. Пусть log₈ 32 = c. Тогда 8^c = 32, то есть (2^3)^c = 2^5, 2^(3c) = 2^5.

Шаг 4. Основания равны, значит равны показатели: 3c = 5, c = 5/3.

Ответ: 5/3.

Проверка через переход к новому основанию: log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3. Сошлось.

Задача 2. Упростить выражение по свойствам

Условие. Вычислить log₆ 12 + log₆ 3.

Шаг 1. Основания одинаковые, между логарифмами плюс — применяем логарифм произведения: log₆ (12 · 3).

Шаг 2. 12 · 3 = 36. Получаем log₆ 36.

Шаг 3. 6 в какой степени равно 36? Во второй.

Ответ: 2.

Заметь: по отдельности log₆ 12 и log₆ 3 — иррациональные числа, посчитать их без калькулятора нельзя. А сумма — целое число. Это типовое задание ЕГЭ: если логарифмы по отдельности «не считаются», их надо объединить.

Задача 3. Основное логарифмическое тождество

Условие. Вычислить 5^(log₅ 7 + 2).

Шаг 1. В показателе сумма — разбиваем степень на произведение: 5^(log₅ 7) · 5^2.

Шаг 2. Основное тождество: 5^(log₅ 7) = 7. Логика: log₅ 7 — это та самая степень, в которую надо возвести 5, чтобы получить 7. Возводим — получаем 7.

Шаг 3. 7 · 25 = 175.

Ответ: 175.

Ошибка: многие пишут 5^(log₅ 7 + 2) = 7 + 25 = 32. Нельзя «раздавать» степень по слагаемым: a^(m+n) = a^m · a^n, а не a^m + a^n.

Задача 4. Простейшее логарифмическое уравнение

Условие. Решить log₃ (2x − 5) = 2.

Шаг 1. ОДЗ. Аргумент положителен: 2x − 5 > 0, x > 2,5.

Шаг 2. По определению: 2x − 5 = 3^2 = 9.

Шаг 3. 2x = 14, x = 7.

Шаг 4. Проверяем ОДЗ: 7 > 2,5 — подходит.

Ответ: 7.

Задача 5. Уравнение с логарифмами с двух сторон

Условие. Решить log₂ (x^2 − 3x) = log₂ (x + 5).

Шаг 1. ОДЗ. Оба аргумента положительны:

• x^2 − 3x > 0 → x(x − 3) > 0 → x < 0 или x > 3;
• x + 5 > 0 → x > −5.

Пересечение: −5 < x < 0 или x > 3.

Шаг 2. Логарифмы с одинаковым основанием равны — равны аргументы: x^2 − 3x = x + 5.

Шаг 3. x^2 − 4x − 5 = 0. Дискриминант: D = 16 + 20 = 36, √D = 6. Корни: x = (4 ± 6)/2, то есть x = 5 и x = −1.

Шаг 4. Проверяем по ОДЗ. x = 5: 5 > 3 — подходит. x = −1: −5 < −1 < 0 — подходит.

Ответ: −1; 5.

Если бы ты пропустил ОДЗ и получил, скажем, корень x = 2, то подставив его, увидел бы log₂ (4 − 6) = log₂ (−2) — не существует. Но чаще ошибка другая: ученик отбрасывает x = −1 просто потому что «отрицательный». А он подходит: (−1)^2 − 3·(−1) = 4 > 0. Отбрасывать надо по ОДЗ, а не по знаку.

Алгоритм решения логарифмического уравнения

1. Выпиши ОДЗ: все аргументы > 0, все основания > 0 и ≠ 1.
2. Приведи все логарифмы к одному основанию (через свойство степени в основании или переход к новому основанию).
3. Собери логарифмы в один с каждой стороны (произведение, частное, степень).
4. Если log_a f(x) = log_a g(x) — отбрось логарифмы: f(x) = g(x). Если log_a f(x) = c — по определению: f(x) = a^c.
5. Реши получившееся уравнение.
6. Проверь каждый корень по ОДЗ. Не подходит — вычёркивай.

Ещё один популярный приём — замена. Если в уравнении встречается log₂ x и log₂² x, обозначь t = log₂ x, реши квадратное относительно t, потом вернись к x.

Пример: log₂² x − 3 log₂ x + 2 = 0. Замена t = log₂ x: t^2 − 3t + 2 = 0, t = 1 или t = 2. Обратно: log₂ x = 1 → x = 2; log₂ x = 2 → x = 4. ОДЗ x > 0 — оба подходят. Ответ: 2; 4.

Типичные ошибки

Не выписывают ОДЗ. Самая дорогая ошибка. Получил корень, при котором под логарифмом отрицательное число — это не решение, а балл в минус.

Раскрывают логарифм суммы. log (x + y) = log x + log y — нет. Складываются логарифмы при умножении аргументов, а не при сложении.

Путают, что куда. log₂ 8 — «2 в какой степени 8?», а не «8 в какой степени 2?». Основание внизу, оно возводится.

Отбрасывают отрицательный корень на автомате. ОДЗ — про аргумент, а не про x. x = −1 может отлично подходить, если аргумент при нём положителен.

Забывают про k при вынесении степени. log₂ x^3 = 3 log₂ x, а не log₂ x в кубе. И наоборот: log₂² x — это (log₂ x)^2, степень стоит у самого логарифма.

Делят на логарифм, который может быть нулём. log₃ x · (x − 2) = log₃ x → «сокращаем на log₃ x» → теряем корень x = 1, при котором log₃ 1 = 0.

Частые вопросы

Что такое логарифм простыми словами?

Это ответ на вопрос «в какую степень надо возвести число a, чтобы получить число b». log₂ 8 = 3, потому что 2^3 = 8. Логарифм — операция, обратная возведению в степень, так же как деление обратно умножению.

Зачем вообще нужны логарифмы?

Они превращают умножение в сложение, а возведение в степень — в умножение. Шкала децибел, шкала Рихтера для землетрясений, pH в химии, сложные проценты в банке — всё логарифмическое, потому что величины там меняются в тысячи раз, а логарифм сжимает их в небольшие удобные числа. В профильном ЕГЭ логарифмы встречаются и в первой части (вычислить значение, решить простейшее уравнение), и во второй — в логарифмическом неравенстве.

Почему основание логарифма не может быть равно 1?

Единица в любой степени равна единице. Поэтому на вопрос «1 в какой степени равно 5?» ответа нет, а на вопрос «1 в какой степени равно 1?» ответов бесконечно много. Логарифм должен быть одним числом, поэтому основание 1 запрещено.

Как посчитать логарифм, если ответ не целый?

Приведи основание и аргумент к общему основанию: log₈ 32 = log₂ 32 / log₂ 8 = 5/3. Если общего основания нет (log₂ 5), точно посчитать нельзя — это иррациональное число, в ответе так и оставляют log₂ 5. Оценить можно: 2^2 = 4 < 5 < 8 = 2^3, значит log₂ 5 между 2 и 3.

Чем отличаются lg и ln?

lg — десятичный логарифм, основание 10. ln — натуральный, основание e ≈ 2,718. Считаются одинаково, просто основания разные. lg 1000 = 3, ln e^2 = 2. В школьной программе ln появляется в теме производных: (ln x)' = 1/x.

Что дальше

• Степени и корни: разбор свойств и типовых ошибок — без степеней логарифмы не понять, начни отсюда, если что-то не сошлось.
• Неравенства: метод интервалов с разбором — для ОДЗ логарифмических уравнений метод интервалов обязателен.
• Разбор уравнений: линейные квадратные и с параметром — после отбрасывания логарифмов остаётся обычное уравнение.
• Профильная математика ЕГЭ: план подготовки по заданиям — где логарифмы встречаются в экзамене.
• Застрял на конкретном уравнении — спроси в Razbery: получишь разбор с ОДЗ и объяснением каждого перехода.