Производная: смысл правила и разбор задач

Учитель пишет f'(x) и говорит: «Производная — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю». Класс кивает. Никто не понял. Дальше идёт таблица из пятнадцати формул, и производная становится темой, которую «просто надо выучить».

Не надо. Производная — это одна из самых наглядных вещей в математике. Ты сталкиваешься с ней каждый раз, когда смотришь на спидометр. Если понять смысл, формулы становятся очевидными, а задачи ЕГЭ на производную (в профиле это задания 8 и 12) превращаются в самые предсказуемые баллы экзамена.

В статье: смысл на пальцах, откуда берётся таблица, правила дифференцирования, геометрический смысл, и пять задач, разобранных пошагово.

Производная — это скорость

Едешь на машине. Одометр показывает пройденный путь: 10 км, 12 км, 15 км. Спидометр показывает, как быстро этот путь растёт прямо сейчас: 60 км/ч.

Путь — это функция от времени: s(t). Скорость — это производная пути: v(t) = s'(t).

Вот и весь смысл. Производная функции — это скорость её изменения. Если функция растёт — производная положительна. Убывает — отрицательна. Функция замерла на вершине или в яме — производная равна нулю.

Средняя скорость — это путь / время на отрезке. Мгновенная — тот же расчёт, но на очень маленьком отрезке. То самое «стремление к нулю» из определения — это просто «возьми отрезок времени настолько маленький, чтобы скорость не успела измениться».

Ещё три способа сказать то же самое:

Откуда берётся таблица производных

Посмотрим на простейшую функцию f(x) = x². Возьмём точку x и сдвинемся на маленький шаг h:

f(x + h) − f(x) = (x + h)² − x² = x² + 2xh + h² − x² = 2xh + h².

Делим на длину шага h: 2x + h. Теперь шаг делаем ничтожно малым, h → 0, и остаётся 2x. Значит (x²)' = 2x.

Это и есть определение производной, только расписанное на конкретном примере. Проверь смысл: при x = 3 функция x² растёт со скоростью 6. При x = −1 — со скоростью −2 (убывает). При x = 0 — скорость 0, дно параболы. Всё сходится с графиком.

Таблица, которую нужно знать:

Формула для степени — самая рабочая. (x^5)' = 5x^4, (x^100)' = 100x^99. И √x, и 1/x — это частные случаи, если помнить дробные и отрицательные показатели.

Правила дифференцирования

Четыре правила, из которых следует всё:

1. Константу можно вынести: (C · f)' = C · f'. (5x³)' = 5 · 3x² = 15x².
2. Сумма — почленно: (f + g)' = f' + g'. (x² + sin x)' = 2x + cos x.
3. Произведение: (f · g)' = f' g + f g'. Не f' · g'! (x · sin x)' = 1 · sin x + x · cos x.
4. Частное: (f / g)' = (f' g − f g') / g². Минус в числителе, квадрат в знаменателе.

И пятое, самое важное для ЕГЭ — сложная функция: (f(g(x)))' = f'(g) · g'(x). Сначала производная «внешней» функции, потом умножить на производную «внутренней».

(sin 3x)' = cos 3x · 3 = 3 cos 3x. Внешняя — синус, его производная косинус. Внутренняя — 3x, её производная 3.

((2x + 1)^5)' = 5(2x + 1)^4 · 2 = 10(2x + 1)^4.

Совет: при сложной функции спроси себя: «Что здесь делается последним?» Если последним ты возводишь в степень — это внешняя функция. Начинай с неё.

Геометрический смысл: касательная

Производная в точке x₀ равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке: f'(x₀) = k = tg α, где α — угол наклона касательной к оси x.

Отсюда:

• f'(x₀) > 0 — касательная идёт вверх, функция растёт;
• f'(x₀) < 0 — касательная идёт вниз, функция убывает;
• f'(x₀) = 0 — касательная горизонтальна, это вершина или впадина (точка экстремума).

Уравнение касательной: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).

Задание 8 профильного ЕГЭ почти всегда про это: дан график, дана касательная, найти производную. Это значит — найти тангенс угла наклона: взять на касательной две точки с целыми координатами и посчитать Δy / Δx.

Задача 1. Найти производную и её значение

Условие. Найти f'(2), если f(x) = x³ − 4x² + 5x − 1.

Шаг 1. Дифференцируем почленно: (x³)' = 3x², (4x²)' = 8x, (5x)' = 5, (1)' = 0.

Шаг 2. f'(x) = 3x² − 8x + 5.

Шаг 3. Подставляем: f'(2) = 3 · 4 − 16 + 5 = 12 − 16 + 5 = 1.

Ответ: 1.

Смысл: в точке x = 2 функция растёт со скоростью 1, касательная наклонена под 45°.

Задача 2. Производная по графику касательной (задание 8 ЕГЭ)

Условие. Прямая y = 3x + 7 является касательной к графику функции f(x) в точке x₀ = −1. Найти f'(−1).

Шаг 1. Производная в точке касания равна угловому коэффициенту касательной.

Шаг 2. У прямой y = 3x + 7 угловой коэффициент k = 3.

Ответ: 3.

Да, это вся задача. Она проверяет, знаешь ли ты геометрический смысл, а не умеешь ли считать. Если на рисунке дана касательная без уравнения — возьми две точки на ней, например (−2; 1) и (1; 7): k = (7 − 1) / (1 − (−2)) = 6/3 = 2.

Задача 3. Найти точку максимума

Условие. Найти точку максимума функции f(x) = x³ − 3x² − 9x + 4.

Шаг 1. Производная: f'(x) = 3x² − 6x − 9.

Шаг 2. Приравниваем к нулю: 3x² − 6x − 9 = 0, делим на 3: x² − 2x − 3 = 0.

Шаг 3. По теореме Виета или через дискриминант: D = 4 + 12 = 16, x = (2 ± 4)/2, корни x = 3 и x = −1.

Шаг 4. Определяем знаки производной на промежутках. f'(x) = 3(x − 3)(x + 1) — парабола ветвями вверх, положительна снаружи корней, отрицательна между:

• x < −1: f' > 0, функция растёт;
• −1 < x < 3: f' < 0, убывает;
• x > 3: f' > 0, растёт.

Шаг 5. В точке x = −1 рост сменяется убыванием — это максимум. В x = 3 убывание сменяется ростом — минимум.

Ответ: x_max = −1.

Ошибка: в ответ пишут значение функции f(−1) = −1 − 3 + 9 + 4 = 9. Но спрашивали точку максимума, то есть x. Точка максимума — это −1, максимум функции — это 9. Читай вопрос.

Задача 4. Наибольшее значение на отрезке

Условие. Найти наибольшее значение функции f(x) = x³ − 12x + 5 на отрезке [−3; 1].

Шаг 1. Производная: f'(x) = 3x² − 12.

Шаг 2. Нули: 3x² = 12, x² = 4, x = ±2.

Шаг 3. Какие из них лежат в отрезке [−3; 1]? Только x = −2. Точка x = 2 вне отрезка — выбрасываем.

Шаг 4. Наибольшее значение достигается либо в критической точке внутри отрезка, либо на его концах. Считаем функцию в трёх точках:

• f(−3) = −27 + 36 + 5 = 14;
• f(−2) = −8 + 24 + 5 = 21;
• f(1) = 1 − 12 + 5 = −6.

Шаг 5. Наибольшее из трёх — 21.

Ответ: 21.

Здесь ответ — именно значение функции, а не точка. Сравни с задачей 3: там спрашивали x, здесь — y.

Задача 5. Физический смысл производной

Условие. Точка движется по закону x(t) = t³ − 6t² + 9t + 2 (метры, секунды). Найти скорость в момент t = 4 с и момент, когда точка останавливается.

Шаг 1. Скорость — производная координаты: v(t) = x'(t) = 3t² − 12t + 9.

Шаг 2. При t = 4: v(4) = 48 − 48 + 9 = 9 м/с.

Шаг 3. Остановка — скорость равна нулю: 3t² − 12t + 9 = 0, делим на 3: t² − 4t + 3 = 0, корни t = 1 и t = 3.

Ответ: v(4) = 9 м/с; точка останавливается при t = 1 с и t = 3 с.

Между t = 1 и t = 3 скорость отрицательна (проверь: v(2) = 12 − 24 + 9 = −3), то есть точка едет назад. Производная показывает не только величину, но и направление.

Алгоритм для задач на экстремум

1. Найди производную.
2. Приравняй к нулю, найди критические точки.
3. Отметь их на числовой прямой, определи знак производной на каждом промежутке (подставь любое число из промежутка).
4. Плюс → минус — максимум. Минус → плюс — минимум.
5. Если просят наибольшее/наименьшее значение на отрезке — посчитай функцию в критических точках внутри отрезка и на его концах, выбери нужное.
6. Перечитай вопрос: точка (x) или значение (y)?

Типичные ошибки

Производная произведения как произведение производных. (x · sin x)' ≠ 1 · cos x. Правильно: sin x + x cos x.

Забывают внутреннюю производную. (sin 5x)' = cos 5x — неверно, потерян множитель 5.

Путают точку экстремума и экстремум. Точка — это x, экстремум — значение f(x). Изрядная часть ошибок задания 12 — из-за этого.

Считают, что f' = 0 — это всегда экстремум. У f(x) = x³ производная 3x² равна нулю при x = 0, но знак не меняется — экстремума нет. Проверка знаков обязательна.

Не отбрасывают критические точки вне отрезка. В задаче на наибольшее значение считают функцию в точке, которой нет в отрезке.

Теряют минус у косинуса. (cos x)' = −sin x. У синуса минуса нет, у косинуса есть.

Ищут производную числа как единицу. (7)' = 0, а не 1. Единица — производная от x.

Частые вопросы

Что такое производная простыми словами?

Скорость изменения функции. Если функция — это пройденный путь, производная — скорость по спидометру. Положительная производная — функция растёт, отрицательная — убывает, ноль — функция на вершине или в яме.

Как найти производную функции?

По таблице и правилам. Степень: (x^n)' = n x^(n−1). Сумму дифференцируй почленно, константу выноси. Для произведения (fg)' = f'g + fg', для сложной функции — производная внешней умножить на производную внутренней. Например, (3x⁴ − sin 2x)' = 12x³ − 2 cos 2x.

Что такое геометрический смысл производной?

Производная в точке равна угловому коэффициенту касательной к графику в этой точке, то есть тангенсу угла её наклона. Если касательная y = 3x + 7, то f'(x₀) = 3. По этому принципу решается задание 8 профильного ЕГЭ.

Как найти точки экстремума функции?

Найди производную, приравняй к нулю, отметь корни на прямой и посмотри знаки производной по обе стороны от каждого. Смена «плюс на минус» — точка максимума, «минус на плюс» — точка минимума. Если знак не меняется — экстремума в этой точке нет.

Чем отличается точка максимума от наибольшего значения?

Точка максимума — это x, в котором функция локально «на вершине». Наибольшее значение — это y, самое большое значение функции на заданном отрезке, и оно может быть на конце отрезка, а не в точке максимума. В задаче 4 выше наибольшее значение 21 достигается в точке x = −2.

Что дальше

• Функции и графики: разбор от линейной до квадратичной — если по графику не видно, где функция растёт, начни отсюда.
• Тригонометрия: разбор от круга до уравнений — производные синуса и косинуса без круга не понять.
• Степени и корни: разбор свойств и типовых ошибок — формула (x^n)' работает и для дробных показателей.
• Типичные ошибки ЕГЭ по математике: разбор по заданиям — задания 8 и 12 разобраны там.
• Не сходится ответ в своей задаче — задай вопрос в Razbery: разберут с производной по шагам и покажут, где потерян множитель.