Профильная математика ЕГЭ: план подготовки по заданиям

У тебя открыт сборник «30 вариантов», ты решаешь первый: 7 из 12 в первой части, вторую не трогал. Открываешь второй — то же самое, только ошибки в других местах. Через месяц таких «тренировок» результат не меняется, потому что вариант — это проверка, а не подготовка.

Профильную математику готовят по заданиям, а не по вариантам. У каждого номера — своя тема, свой набор приёмов и своя цена в баллах. Когда ты знаешь, что задание 13 стоит 2 балла и отрабатывается за две недели, а задание 19 стоит 4 балла и не отрабатывается вообще, план строится сам.

Ниже — карта экзамена с ценой каждого задания, порядок изучения, план на год по месяцам и разбор двух задач с полным решением.

Структура профиля: что сколько стоит

Итого 32 первичных балла. Шкала перевода нелинейная: первые баллы «дорогие», последние — «дешёвые». Ориентировочно 12 первичных — около 70 тестовых, 17 — около 80, 22 — около 90. Точную шкалу года смотри на fipi.ru.

Вывод для планирования: первая часть + 13 + 15 + 16 = 18 первичных, а это уже за 80 баллов. Всё, что дальше — 14, 17, 18, 19 — добавляет по 3–4 балла ценой месяцев работы. Для большинства направлений в это идти не нужно.

Порядок изучения тем

Учить надо не по номерам, а по зависимостям: нельзя решать 13-е, не умея считать тригонометрию из 7-го.

1. Алгебраический фундамент: степени, корни, формулы сокращённого умножения, дроби. Без этого ошибки будут везде. 1–2 недели.
2. Задания 6, 7, 4: уравнения, вычисления, простая вероятность. Быстрые баллы. 2 недели.
3. Задания 1, 2, 3: геометрия первой части — повтори формулы площадей, теорему Пифагора, свойства касательной, объёмы. 2–3 недели.
4. Задания 10, 9, 5: текстовые задачи, формулы, вероятность посложнее. 3 недели.
5. Тригонометрия: формулы, тригонометрическая окружность, простейшие уравнения → задание 13. 3–4 недели.
6. Производная: задания 8, 12, потом 11. 3 недели.
7. Неравенства и метод интервалов → задание 15. 3 недели.
8. Экономическая задача (16): два типа — дифференцированный и аннуитетный платёж, плюс задачи на оптимизацию. 2–3 недели.
9. Стереометрия и планиметрия второй части (14, 17) — только если после пункта 8 ты стабильно берёшь 17+ первичных.
10. Параметр (18) — только при цели 90+ и запасе времени. Графический метод даёт 1–2 балла из 4 относительно быстро.

План на год по месяцам

Занятия: 3 раза в неделю по 60–90 минут. Меньше двух раз — темы забываются быстрее, чем накапливаются.

Совет: заведи под каждое задание отдельный проект или лейбл в планировщике и добавляй туда задачи вида «13: 5 уравнений с отбором на отрезке». Когда видишь, что по заданию 15 не было ни одной задачи три недели, — это сигнал, что тема выпадет.

Как отрабатывать одно задание

Схема на каждый тип, от 6-го до 16-го:

1. Прочитай теорию по теме в одном источнике (учебник, конспект). 20 минут.
2. Разбери 3 решённых примера — не читай, а закрывай решение и воспроизводи.
3. Реши 10 задач из открытого банка ФИПИ или сборника, записывая полное решение, даже в первой части.
4. Проверь. Каждую ошибку запиши в копилку: условие, где ошибся, правило.
5. Через 3 дня — ещё 5 задач того же типа. Через 2 недели — ещё 5. Это интервальное повторение: без него тема, выученная в октябре, к маю исчезнет.

Разбор задачи 13: тригонометрия с отбором корней

Задача. а) Решите уравнение 2sin²x − sin x = 0. б) Найдите корни на отрезке [−π; π/2].

Шаг 1. Разложи на множители. Выноси sin x: sin x (2 sin x − 1) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю.

Шаг 2. Реши каждое уравнение.

• sin x = 0 → x = πk, где k — целое.
• 2 sin x − 1 = 0 → sin x = 1/2 → x = π/6 + 2πn или x = 5π/6 + 2πn.

Шаг 3. Отбор корней на отрезке [−π; π/2]. Перебираем по каждой серии.

• Серия πk: при k = −1 получаем −π (входит, левый конец включён); k = 0 → 0 (входит); k = 1 → π — больше π/2, не входит.
• Серия π/6 + 2πn: n = 0 → π/6 ≈ 0,52, а π/2 ≈ 1,57 — входит; n = −1 → π/6 − 2π ≈ −5,76 — меньше −π ≈ −3,14, не входит.
• Серия 5π/6 + 2πn: n = 0 → 5π/6 ≈ 2,62 — больше π/2, не входит; n = −1 → 5π/6 − 2π = −7π/6 ≈ −3,67 — меньше −π, не входит.

Ответ. а) πk, π/6 + 2πn, 5π/6 + 2πn, где k, n — целые. б) −π; 0; π/6.

Где теряют балл: забывают серию 5π/6 (при sin x = 1/2 два корня на окружности), не проверяют концы отрезка, делят обе части на sin x и теряют корни. Пункт б без пункта а не оценивается, поэтому решение пиши полностью.

Разбор задачи 15: логарифмическое неравенство

Задача. Решите неравенство log₂(x − 1) + log₂(x + 1) ≤ 3.

Шаг 1. ОДЗ. Аргументы логарифмов положительны: x − 1 > 0 и x + 1 > 0, то есть x > 1.

Шаг 2. Свернём сумму. На ОДЗ log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = log₂((x − 1)(x + 1)) = log₂(x² − 1).

Шаг 3. Уберём логарифм. Основание 2 > 1, знак неравенства сохраняется: x² − 1 ≤ 2³ = 8, откуда x² ≤ 9, то есть −3 ≤ x ≤ 3.

Шаг 4. Пересечём с ОДЗ. x > 1 и −3 ≤ x ≤ 3 дают 1 < x ≤ 3.

Ответ. (1; 3].

Проверка: при x = 3 получаем log₂2 + log₂4 = 1 + 2 = 3 ≤ 3 — верно, конец входит. При x = 1 логарифм не определён — конец не входит. Где теряют балл: забывают ОДЗ и пишут ответ [−3; 3]; при основании меньше 1 не меняют знак.

Что делать за 3 месяца до экзамена

Если ты открыл эту статью в марте, план сжимается:

1. Реши демоверсию на время. Отметь, что не решено или решено неуверенно.
2. Все нерешённые задания первой части — по одному в неделю, по схеме отработки. Это 6–8 недель.
3. Задание 13 — параллельно, 3 уравнения в неделю.
4. Задание 15 — с апреля, если 13-е уже стабильно.
5. Вторую часть дальше 16-го не трогай.

Реально поднять результат с 50 до 70 баллов за три месяца именно за счёт первой части: там 12 баллов, и каждый тип отрабатывается быстро.

Ошибка: решать параметр в марте, когда в первой части три дырки. Три задания первой части — это 3 первичных балла за две недели. Параметр — 1–2 балла за два месяца, если повезёт.

На экзамене: порядок и тайминг

Время — 3 часа 55 минут. Разумное распределение:

• Первая часть: 60–70 минут, потом 10 минут на проверку и перенос в бланк.
• Задания 13 и 15: по 20–25 минут.
• Задание 16: 25–30 минут.
• Остаток — 14, 17, или 18 (графический метод), если знаешь, что делаешь.

Проверяй первую часть до того, как идёшь во вторую. Один неверно переписанный ответ в 7-м задании стоит столько же, сколько половина 13-го.

Типичные ошибки

• Готовиться по вариантам. Вариант показывает пробелы, но не закрывает их. Тема закрывается 15–20 задачами одного типа.
• Пропускать «лёгкие» задания. Задания 1–7 кажутся простыми, поэтому их не тренируют — и на экзамене теряют 2–3 балла на арифметике.
• Учить формулы без тригонометрической окружности. Отбор корней без окружности — лотерея.
• Не записывать решения первой части. Считаешь в уме — ошибаешься в знаках. Записывай.
• Забывать ОДЗ в 15-м. Самая дорогая ошибка задания: правильно решил, ответ неверный, 0 баллов.
• Начинать вторую часть с 18-го. Порядок по цене за час работы: 13 → 15 → 16 → 14/17 → 18 → 19.
• Заниматься раз в неделю по 4 часа. Три раза по час — лучше: тригонометрия требует повторений, а не марафонов.

Частые вопросы

С чего начать подготовку к профильной математике?

С демоверсии на fipi.ru: реши её на время, выпиши задания, которые не получились. Потом — алгебраический фундамент (степени, дроби, формулы сокращённого умножения) и быстрые баллы: задания 4, 6, 7. Только после этого — геометрия и текстовые задачи.

Сколько времени нужно на подготовку к профилю с нуля?

Если «с нуля» означает первую часть на 3–4 из 12, то до 70 баллов — учебный год при трёх занятиях в неделю. До 55–60 баллов реально за 4–5 месяцев. За два месяца с нуля — только пройти порог.

Сколько заданий нужно решить на 80 баллов?

Примерно 17–18 первичных баллов: вся первая часть (12) плюс задания 13, 15 и 16 (ещё 6). Точную шкалу смотри на fipi.ru за нужный год — она меняется.

Можно ли подготовиться к профильной математике самому?

Да, если ты стабильно решаешь первую часть на 8+ и умеешь разбирать ошибки. Репетитор ценен для второй части и для тех, кто не понимает тему по учебнику. Для конкретной непонятной задачи проще спросить с разбором, чем платить за час.

Какие задания профиля самые лёгкие?

Задания 4 (вероятность), 6 (уравнение), 7 (вычисления) и 2 (векторы) — они отрабатываются за неделю каждое. Во второй части самое «отрабатываемое» — 13-е: алгоритм один и тот же, меняются только формулы.

Что дальше

• ЕГЭ по математике: база или профиль
• Как решать варианты ЕГЭ правильно
• Разбор: тригонометрия
• Разбор: задачи с параметром
• Разбор типичных ошибок ЕГЭ по математике
• Разложить план на 9 месяцев по неделям и не забыть ни одну тему: Doday для подготовки к ЕГЭ