Теория вероятностей в школе: разбор типовых задач

Задание 4 профильного ЕГЭ, задание 10 ОГЭ — вероятность. Задача выглядит как загадка из детского журнала: «В сборнике 25 билетов, в двух из них — вопрос про грибы. Какова вероятность, что Пете попадётся про грибы?» И при этом её регулярно проваливают, потому что «что-то с 2/25, а может 2/23, а может надо умножить».

Вероятность — это одна дробь и три правила. Если понимать, что делить на что и когда складывать, а когда умножать, — задание решается за минуту, а «страшные» задачи про два выстрела и три лампочки становятся одинаковыми.

В статье: определение, правила сложения и умножения, противоположное событие, и шесть разобранных задач от простейшей до уровня профильного ЕГЭ.

Классическое определение: одна дробь

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к числу всех возможных исходов:

P = m / n, где m — сколько исходов «подходят», n — сколько всего исходов.

Условие: все исходы равновозможны. Монета честная, кубик не утяжелён, билеты вытягивают вслепую.

Свойства, которые следуют из определения:

• Вероятность всегда от 0 до 1. Получил 1,3 или −0,2 — ошибка в счёте.
• P = 0 — событие невозможно (выпало 7 на обычном кубике).
• P = 1 — событие достоверно (выпало не больше 6).
• Сумма вероятностей всех исходов равна 1.

Ответ в ЕГЭ записывают десятичной дробью: 2/25 = 0,08. Если не делится нацело — округляют, как просят в условии, обычно до сотых.

Совет: первое, что делаешь в любой задаче — считаешь n, число ВСЕХ исходов. Не «благоприятных», а всех. Потом отдельно считаешь m. Ошибки чаще всего в n.

Задача 1. Простейшая: билеты на экзамене

Условие. В сборнике билетов по биологии 25 билетов, в 5 из них встречается вопрос по ботанике. Найти вероятность того, что в случайно выбранном билете попадётся вопрос по ботанике.

Шаг 1. Всего исходов: n = 25 (любой билет).

Шаг 2. Благоприятных: m = 5.

Шаг 3. P = 5/25 = 1/5 = 0,2.

Ответ: 0,2.

Обрати внимание: вопрос «попадётся ботаника» — считаем билеты с ботаникой. Если бы спросили «НЕ попадётся ботаника» — m = 20, P = 0,8. Читай, что именно спрашивают.

Задача 2. Два кубика — перебор исходов

Условие. Бросают два игральных кубика. Найти вероятность того, что сумма очков равна 8. Ответ округлить до сотых.

Шаг 1. Всего исходов. На первом кубике 6 вариантов, на втором 6, всего n = 6 · 6 = 36. Пара (1; 2) и пара (2; 1) — разные исходы: это разные кубики.

Шаг 2. Благоприятные: перебираем пары с суммой 8. (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2) — пять штук. m = 5.

Шаг 3. P = 5/36 ≈ 0,1389 ≈ 0,14.

Ответ: 0,14.

Почему (4; 4) только одна, а (3; 5) и (5; 3) — две? Потому что (4; 4) — это «на первом 4 и на втором 4», один вариант. А тройка и пятёрка могут распределиться двумя способами. Ловушка: посчитать (4;4) дважды или посчитать (3;5) один раз.

Для задач про два кубика удобно нарисовать таблицу 6×6 и отметить нужные клетки.

Задача 3. Монета три раза — и противоположное событие

Условие. Монету бросают три раза. Найти вероятность того, что орёл выпадет хотя бы один раз.

Шаг 1. Всего исходов: 2 · 2 · 2 = 8. Выпишем: ООО, ООР, ОРО, РОО, ОРР, РОР, РРО, РРР.

Шаг 2. «Хотя бы один орёл» — это все исходы, кроме РРР. Считать 7 благоприятных напрямую можно, но проще через противоположное событие.

Шаг 3. Противоположное событие — «ни одного орла», то есть РРР. Один исход: P(РРР) = 1/8.

Шаг 4. P(хотя бы один орёл) = 1 − 1/8 = 7/8 = 0,875.

Ответ: 0,875.

Правило: P(A) = 1 − P(не A). Слова «хотя бы один» — почти всегда сигнал считать через противоположное «ни одного».

Сложение и умножение: когда что

Здесь ошибаются чаще всего. Два правила:

Проверка на интуицию: вероятность «и того, и другого» не может быть больше вероятности каждого — поэтому умножаем (дроби меньше 1 при умножении уменьшаются). Вероятность «хотя бы чего-то одного» больше — поэтому складываем.

Если события совместны (могут произойти одновременно), формула сложения усложняется: P(A или B) = P(A) + P(B) − P(A и B). В ЕГЭ базового уровня это редко, в профильном — бывает.

Задача 4. Умножение: два выстрела

Условие. Биатлонист попадает в мишень с вероятностью 0,8. Он стреляет два раза. Найти вероятность того, что он попадёт оба раза.

Шаг 1. Выстрелы независимы: результат первого не влияет на второй.

Шаг 2. Нужно «попал И попал» — умножаем: 0,8 · 0,8 = 0,64.

Ответ: 0,64.

Продолжение. А вероятность попасть ровно один раз из двух?

Шаг 1. Вероятность промаха: 1 − 0,8 = 0,2.

Шаг 2. «Ровно один раз» — это «попал, промахнулся» ИЛИ «промахнулся, попал». Два несовместных сценария.

Шаг 3. Каждый сценарий — умножение: 0,8 · 0,2 = 0,16 и 0,2 · 0,8 = 0,16.

Шаг 4. Сценарии складываем: 0,16 + 0,16 = 0,32.

Ответ: 0,32.

Проверка: все варианты — «оба попал» 0,64, «ровно один» 0,32, «оба промах» 0,2 · 0,2 = 0,04. Сумма 0,64 + 0,32 + 0,04 = 1. Сошлось — значит, ничего не потеряли.

Ошибка: посчитать «ровно один» как 0,8 · 0,2 = 0,16 и остановиться. Забыли, что порядок может быть двумя способами.

Задача 5. Лампочки и «хотя бы одна» (профиль)

Условие. В магазине две лампочки. Вероятность того, что лампочка бракованная — 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы одна из двух лампочек исправна.

Шаг 1. Противоположное событие: «обе бракованные».

Шаг 2. Лампочки независимы: P(обе брак) = 0,1 · 0,1 = 0,01.

Шаг 3. P(хотя бы одна исправна) = 1 − 0,01 = 0,99.

Ответ: 0,99.

Напрямую было бы дольше: «исправна-исправна» 0,9 · 0,9 = 0,81, плюс «исправна-брак» 0,09, плюс «брак-исправна» 0,09, итого 0,99. Тот же ответ, в три раза больше арифметики.

Задача 6. Задача с условием и деревом (профиль, задание 5)

Условие. В городе два таксопарка. В первом 60 % всех машин, во втором 40 %. Вероятность того, что машина первого парка приедет вовремя — 0,9, второго — 0,8. Найти вероятность того, что случайно вызванная машина приедет вовремя.

Шаг 1. Два сценария: «первый парк и вовремя» или «второй парк и вовремя». Они несовместны (машина из одного парка).

Шаг 2. Первый сценарий: 0,6 · 0,9 = 0,54.

Шаг 3. Второй сценарий: 0,4 · 0,8 = 0,32.

Шаг 4. Складываем: 0,54 + 0,32 = 0,86.

Ответ: 0,86.

Это формула полной вероятности, но её не надо помнить по имени: рисуй дерево. Первая развилка — какой парк (0,6 / 0,4), вторая — вовремя или нет. Вдоль ветки умножаем, нужные ветки складываем.

Пример: ученица решала эту задачу как (0,9 + 0,8)/2 = 0,85. Логика «среднее» подводит: парки не равны, у первого больше машин, значит его надёжность весит больше. Поэтому веса 0,6 и 0,4, а не 0,5 и 0,5.

Алгоритм для любой задачи на вероятность

1. Определи, что за событие спрашивают. Выпиши его словами.
2. Если исходы равновозможны и их можно пересчитать — классическое определение m/n. Сначала n, потом m.
3. Если событие составное — разбей на «и»/«или». «И» между независимыми — умножай. «Или» между несовместными — складывай.
4. Видишь «хотя бы один» — считай противоположное «ни одного» и вычитай из 1.
5. Несколько этапов с разными вероятностями — рисуй дерево.
6. Проверь: ответ от 0 до 1; сумма вероятностей всех вариантов равна 1.

Типичные ошибки

Делят на число благоприятных вместо всех. «2 из 25 билетов про грибы, значит 2/23»? Нет: всего билетов 25, n = 25.

Складывают вместо умножения. «Попал оба раза: 0,8 + 0,8 = 1,6». Вероятность больше 1 — сразу видно, что ошибка.

Забывают про порядок. «Ровно один из двух» — это два сценария, а не один.

Считают пары (3; 5) и (5; 3) за один исход. Два кубика — 36 исходов, и эти две пары разные.

Игнорируют «хотя бы». Считают «ровно один» вместо «хотя бы один».

Округляют посередине. 5/36 · что-то — считай точно, округляй только конечный ответ.

Пишут ответ дробью, когда требуют десятичную. В бланке ЕГЭ 1/8 не примут, нужно 0,125.

Частые вопросы

Как найти вероятность события?

Раздели число благоприятных исходов на число всех равновозможных исходов: P = m/n. В сборнике 25 билетов, 5 про ботанику — вероятность вытянуть ботанику 5/25 = 0,2. Главное — правильно посчитать все исходы, а не только подходящие.

Когда вероятности складывают, а когда умножают?

Умножают, когда нужно, чтобы произошли оба независимых события («попал и попал»). Складывают, когда нужно любое из несовместных событий («попал в первый раз или во второй»). Проверка: при умножении ответ меньше каждого множителя, при сложении больше каждого слагаемого.

Как решать задачи «хотя бы один»?

Через противоположное событие «ни одного». Считаешь вероятность, что ни одно не случилось (обычно умножением), и вычитаешь из единицы. Три монеты, хотя бы один орёл: 1 − (1/2)³ = 1 − 1/8 = 0,875.

Сколько исходов при бросании двух кубиков?

36: шесть вариантов на первом умножить на шесть на втором. Пары (2; 5) и (5; 2) — разные исходы. Для суммы очков удобно нарисовать таблицу 6 на 6 и отметить подходящие клетки.

Что такое независимые события?

Такие, что результат одного не влияет на вероятность другого: два броска монеты, два выстрела, две лампочки с завода. Для них работает умножение вероятностей. Зависимые — например, вытягивание двух шаров без возвращения: после первого шара состав ящика изменился.

Что дальше

• Дроби: разбор всех действий с примерами — вероятность это дроби, если они хромают, всё остальное тоже будет хромать.
• Задачи на проценты: разбор 10 типовых с объяснением — 60 % машин, 0,6 вероятности — одно и то же.
• Типичные ошибки ЕГЭ по математике: разбор по заданиям — задание 4 там разобрано с реальными ошибками.
• Типичные ошибки ОГЭ по математике: разбор по заданиям — вероятность в ОГЭ, задание 10.
• Не сходится ответ в своей задаче — задай её в Razbery: покажут, где сложение, где умножение, и почему.