Типичные ошибки ОГЭ по математике: разбор по заданиям

ОГЭ по математике — не экзамен на «умный или нет». Это экзамен на аккуратность. Каждый год тысячи девятиклассников решают правильно и теряют баллы на одном и том же: не поменяли знак неравенства, записали в ответ не то число, не проверили корень уравнения, перепутали, что спрашивают в задаче. Разница между «3» и «4» — это часто два-три таких промаха.

Ниже — самые частые ошибки по блокам заданий первой части, с реальными задачами и полным решением каждой. Не «будь внимательнее», а конкретно: на каком шаге и почему теряется балл, и как этот шаг делать так, чтобы не терять. Структура заданий — по демоверсии ФИПИ; проверь актуальную на fipi.ru, нумерация иногда сдвигается.

Где теряют баллы: карта первой части

Перед разбором — общая карта. Слева задания, справа — самая частая ошибка в них.

Первая часть даёт большинство баллов, и каждое задание — 1 балл. Терять их на арифметике обиднее всего.

Ошибка 1. Практическая задача: ответил не на тот вопрос

Задания 1–5 — это один сюжет на пять вопросов: план участка, шины, тарифы, печь для бани. Ошибка почти всегда не математическая: ты нашёл число, но не то, о котором спрашивали, или в не тех единицах.

Задача. Хозяин участка хочет вымостить плиткой дорожку размером 1,2 м на 10 м. Плитка квадратная, со стороной 30 см, продаётся упаковками по 10 штук. Сколько упаковок нужно купить?

Решение.

1. Переводим в одни единицы. Дорожка 1,2 м = 120 см, 10 м = 1000 см. Плитка 30 см.
2. Считаем, сколько плиток по ширине: 120 : 30 = 4. По длине: 1000 : 30 = 33,33… — значит, 33 целых плитки и кусок. Плитку режут, но чтобы закрыть всю длину, нужно 34 ряда (33 не хватит).
3. Всего плиток: 4 · 34 = 136.
4. Упаковок: 136 : 10 = 13,6 — покупаем 14 (13 упаковок — это 130 плиток, мало).

Ответ: 14.

Где теряют балл: считают площадь 1,2 · 10 = 12 м², делят на площадь плитки 0,09 м², получают 133,3 плитки → 134 → 13,4 упаковки → отвечают 13 или 14. Здесь случайно сходится, но в других вариантах площадью считать нельзя: плитки не режут «по площади», их укладывают рядами. И главное — округление всегда вверх, если спрашивают «сколько нужно купить».

Совет: в задачах 1–5 после получения числа перечитай вопрос и подчеркни, ЧТО спрашивают: штук, упаковок, рублей, процентов, метров. Ответ — только это.

Ошибка 2. Дроби и порядок действий (задание 6)

Задача. Найдите значение выражения (2/5 + 1/4) : 13/20.

Решение.

1. Скобка первой. Общий знаменатель 20: 2/5 = 8/20, 1/4 = 5/20. Сумма 13/20.
2. Деление: 13/20 : 13/20 = 13/20 · 20/13 = 1.

Ответ: 1.

Где теряют балл: складывают числители и знаменатели отдельно (2/5 + 1/4 = 3/9) — это самая массовая ошибка с дробями вообще. Или при делении не переворачивают вторую дробь. Проверка: результат должен быть «красивым» — на ОГЭ не бывает ответов вроде 0,4615.

Задача. Найдите значение выражения −0,3 · (−10)² + 0,4 · (−10).

Решение.

1. Степень первой: (−10)² = 100 — минус в квадрате исчезает, потому что минус внутри скобки.
2. −0,3 · 100 = −30.
3. 0,4 · (−10) = −4.
4. −30 + (−4) = −34.

Ответ: −34.

Где теряют балл: −0,3 · (−10)² считают как (+3) , «минус на минус» — но минус перед 0,3 не возводится в квадрат, он не в скобке. В квадрат возводится только то, что внутри скобки.

Ошибка 3. Уравнение: потерянный или лишний корень (задание 9)

Задача. Решите уравнение x² − 5x = 14. Если корней несколько, в ответ запишите меньший.

Решение.

1. Переносим всё влево: x² − 5x − 14 = 0.
2. Дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · (−14) = 25 + 56 = 81. Корень из 81 — 9.
3. Корни: x = (5 ± 9) / 2. x₁ = 14/2 = 7, x₂ = −4/2 = −2.
4. Читаем задание: меньший корень — это −2.

Ответ: −2.

Где теряют балл: (а) забывают перенести 14, считают дискриминант с +14 и получают D = 25 − 56 < 0, «корней нет»; (б) в дискриминанте −4ac с c = −14 дают минус вместо плюса; (в) находят оба корня и записывают больший, хотя просили меньший. Последнее — самая обидная ошибка первой части.

Задача. Решите уравнение x² = 3x.

Решение. Соблазн — разделить на x и получить x = 3. Но так теряется корень. Правильно: x² − 3x = 0, выносим x: x(x − 3) = 0, откуда x = 0 или x = 3. Если просят меньший — ответ 0; если больший — 3.

Ошибка: делить обе части уравнения на выражение с неизвестной. Так исчезает корень, при котором это выражение равно нулю.

Ошибка 4. Вероятность: что на что делить (задание 10)

Задача. В коробке 12 синих, 8 красных и 5 зелёных ручек. Какова вероятность, что наугад взятая ручка окажется не красной?

Решение.

1. Всего ручек: 12 + 8 + 5 = 25.
2. «Не красных» — синие и зелёные: 12 + 5 = 17.
3. Вероятность: 17 / 25 = 0,68.

Ответ: 0,68.

Где теряют балл: считают вероятность красной (8/25 = 0,32) и забывают «не». Или делят 17 на 8. Правило: в знаменателе всегда все исходы, в числителе — те, что подходят под вопрос. Ответ — десятичная дробь от 0 до 1, если получилось больше 1 — точно ошибка.

Ошибка 5. Неравенство: знак при делении (задание 13)

Задача. Решите неравенство 3 − 2x ≥ 11.

Решение.

1. Переносим 3 вправо: −2x ≥ 11 − 3, то есть −2x ≥ 8.
2. Делим на −2. Делим на отрицательное — знак меняется: x ≤ −4.

Ответ: (−∞; −4]. В форме с выбором — вариант с закрашенной точкой в −4 и лучом влево.

Где теряют балл: (а) не меняют знак и получают x ≥ −4; (б) при переносе 3 пишут −2x ≥ 14 (прибавили вместо вычитания); (в) в ответе ставят круглую скобку при нестрогом знаке. Проверка занимает 10 секунд: подставь x = −10 (он должен подходить под x ≤ −4): 3 − 2·(−10) = 23 ≥ 11 — верно. Подставь x = 0: 3 ≥ 11 — неверно, значит, 0 не в ответе. Всё сходится.

Задача. Укажите решение неравенства x² − 36 < 0.

Решение. Раскладываем: (x − 6)(x + 6) < 0. Нули: −6 и 6. Парабола ветвями вверх, отрицательна между корнями: −6 < x < 6. Ответ (−6; 6).

Где теряют балл: извлекают корень «x < 6» и забывают про отрицательную сторону. Квадратное неравенство решается только через корни и знак ветвей, а не «извлеканием корня».

Ошибка 6. Прогрессия: перепутаны формулы (задание 14)

Задача. В амфитеатре 15 рядов. В первом ряду 20 мест, в каждом следующем на 3 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в 15-м ряду?

Решение.

1. Арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 3, ищем a₁₅.
2. Формула n-го члена: aₙ = a₁ + d(n − 1).
3. a₁₅ = 20 + 3 · (15 − 1) = 20 + 3 · 14 = 20 + 42 = 62.

Ответ: 62.

Где теряют балл: берут d · n вместо d · (n − 1) и получают 65. Или путают: спросили про 15-й ряд, а считают сумму мест во всех рядах (это была бы формула Sₙ). Перед решением подчеркни: «сколько в ряду» — это aₙ; «сколько всего» — это Sₙ.

Ошибка 7. Геометрия: не та теорема, не тот угол (задания 15–19)

Задача. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 8, BC = 6. Найдите sin A.

Решение.

1. Гипотенуза по Пифагору: AB² = 8² + 6² = 64 + 36 = 100, AB = 10.
2. Синус угла A — противолежащий катет к гипотенузе. Против угла A лежит сторона BC = 6.
3. sin A = 6 / 10 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Где теряют балл: берут прилежащий катет (8/10 = 0,8 — это косинус A) или делят катет на катет (6/8 = 0,75 — это тангенс). Перед подстановкой нарисуй треугольник и пальцем покажи: против какого угла какая сторона.

Задача. Центральный угол окружности на 40° больше вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдите вписанный угол.

Решение.

1. Центральный угол вдвое больше вписанного, опирающегося на ту же дугу: если вписанный — x, центральный — 2x.
2. По условию 2x − x = 40, откуда x = 40.

Ответ: 40.

Где теряют балл: не помнят, какой из углов вдвое больше, и получают 80 (это центральный, а спросили вписанный). Снова: перечитать вопрос.

Задание 19: «какие утверждения верны»

Это задание на знание теории, и ошибки тут — от «кажется, что верно». Типичные ловушки:

Работающий приём: пытайся опровергнуть утверждение контрпримером. Если за 20 секунд нашёл — неверно. Если не нашёл и оно похоже на теорему из учебника — верно.

Как проверять первую часть за 10 минут

После решения — обязательный прогон. Не «перерешать всё», а точечная проверка по списку:

1. Уравнения — подставь корень обратно. 30 секунд, спасает балл.
2. Неравенства — подставь одно число из ответа и одно не из ответа.
3. Задачи 1–5 — перечитай вопрос, сверь единицы и «округлить вверх/вниз».
4. Вероятность — ответ от 0 до 1.
5. Геометрия — ответ разумный: синус не больше 1, угол треугольника меньше 180.
6. Бланк — переписаны ли ответы из черновика в бланк и в те клетки. Каждый год кто-то решает всё и не переносит.

Пример: Кирилл, 9 класс, на пробнике решил 17 заданий первой части, а в бланке оказалось 13 правильных: два неравенства с неперевёрнутым знаком, «больший корень» вместо меньшего и 0,32 вместо 0,68 в вероятности. Все четыре — не незнание, а отсутствие проверки. На реальном ОГЭ он проверял по списку выше и получил 19.

Типичные ошибки

• Не переносить всё в одну сторону перед дискриминантом. x² − 5x = 14 — это ещё не квадратное уравнение в стандартном виде.
• Делить уравнение на x. Корень x = 0 теряется.
• Не менять знак неравенства при делении на отрицательное число.
• Круглые скобки при нестрогом неравенстве и наоборот.
• Ответить на другой вопрос: больший корень вместо меньшего, вероятность красной вместо не красной, число плиток вместо упаковок.
• Округлять вниз, когда надо купить. 13,6 упаковки — это 14.
• Минус перед степенью: −3² — это −9, а (−3)² — это 9.
• Синус, косинус, тангенс наугад. Сначала рисунок, потом «против какого угла какая сторона».
• Забыть переписать ответы в бланк. Проверять в последние 5 минут.

Частые вопросы

На чём чаще всего теряют баллы на ОГЭ по математике?

На аккуратности, а не на незнании: знак при делении неравенства на отрицательное, потерянный корень в уравнении, ответ не на тот вопрос (больший корень вместо меньшего, штуки вместо упаковок), ошибки в дробях и в порядке действий со степенями. Плюс геометрия — не та сторона в синусе.

Сколько баллов нужно на ОГЭ по математике на 3, 4 и 5?

Ориентировочно по шкале ФИПИ последних лет: «3» — от 8 баллов (при этом нужно минимум 2 балла по геометрии), «4» — от 15, «5» — от 22. Точную шкалу на текущий год смотри на fipi.ru — она может меняться.

Как проверять ответы на ОГЭ по математике?

Уравнение — подставь корень. Неравенство — подставь число из ответа и число вне ответа. Задачи 1–5 — перечитай вопрос и единицы. Вероятность — от 0 до 1. Геометрия — здравый смысл (синус ≤ 1). Последние 5 минут — бланк.

Что делать, если не понимаю, как решать задание ОГЭ?

Пропусти и вернись позже. А при подготовке — не смотреть готовый ответ, а разобрать с объяснением каждого шага: у ФИПИ в открытом банке есть похожие задания, в Razbery можно спросить конкретную задачу и получить разбор логики решения.

Сколько заданий надо решить для четвёрки?

Для 15 баллов достаточно 15 заданий первой части — это все задания, кроме самых трудных геометрических. Вторая часть не обязательна для «4», но задание 20 (уравнение или неравенство) даёт 2 балла и часто проще, чем кажется.

Что дальше

• Как подготовиться к ОГЭ
• Разбор уравнений: линейные, квадратные, дробные
• Разбор неравенств
• Текстовые задачи ОГЭ: разбор
• Разбор геометрии 8 класса
• Спросить разбор конкретного задания: Razbery