Алгебра 7 класс: формулы сокращённого умножения с разбором

В 7 классе алгебра впервые становится «буквенной»: вместо чисел — a, b, x, а вместо примеров — «упростите выражение». И тут появляются формулы сокращённого умножения. Их пять-семь штук, все похожи, у всех квадраты и удвоенные произведения, и через неделю ты уже не помнишь, где плюс, где минус и откуда взялось 2ab.

Проблема в слове «запомнить». Формулы сокращённого умножения не нужно запоминать — их нужно один раз вывести, и тогда они выводятся заново за десять секунд в любой момент. Ниже — вывод каждой формулы, шесть типов заданий из контрольных 7 класса с полным разбором и приёмы, которые превращают формулы из зубрёжки в инструмент.

Откуда берутся формулы

Все формулы сокращённого умножения — это обычное раскрытие скобок, записанное один раз навсегда. Возьми (a + b)². Это (a + b)(a + b). Умножаем каждое на каждое:

a · a + a · b + b · a + b · b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b².

Вот и вся формула. 2ab появилось потому, что произведение ab встретилось два раза. Так же выводятся остальные:

Последний столбец — главный приём этой статьи. Забыл знак — подставь маленькие числа. Формула, которая не сходится на a = 1, b = 1, записана неверно.

Ещё одно, что нужно понять сразу: в квадрате разности последний знак плюс. (a − b)² = a² − 2ab + b², потому что (−b) · (−b) = +b². Ошибка «минус b²» — самая частая в 7 классе.

Задание 1. Раскрыть квадрат суммы и разности

Раскройте: (x + 3)² и (2a − 5)².

Первое. По формуле квадрата суммы: a = x, b = 3. (x + 3)² = x² + 2 · x · 3 + 3² = x² + 6x + 9.

Второе. Здесь ловушка: a = 2a, а не a. Квадрат первого — это (2a)² = 4a², а не 2a². (2a − 5)² = (2a)² − 2 · 2a · 5 + 5² = 4a² − 20a + 25.

Проверка второго на числе. a = 1: слева (2 − 5)² = 9; справа 4 − 20 + 25 = 9. Сходится.

Ответ: x² + 6x + 9; 4a² − 20a + 25.

Ошибка: написать (2a − 5)² = 2a² − 20a + 25 или 4a² − 10a + 25. Первое — забыли возвести в квадрат коэффициент, второе — забыли удвоить произведение. Проверка на a = 1 ловит обе ошибки.

Задание 2. Разность квадратов

Раскройте: (3x − 4)(3x + 4).

Разбор. Две скобки отличаются только знаком посередине — это разность квадратов. a = 3x, b = 4. (3x − 4)(3x + 4) = (3x)² − 4² = 9x² − 16.

Проверка. x = 2: слева (6 − 4)(6 + 4) = 2 · 10 = 20; справа 36 − 16 = 20. Сходится.

Ответ: 9x² − 16.

Почему нет среднего члена? Раскрой руками: 9x² + 12x − 12x − 16. Слагаемые +12x и −12x уничтожаются. Именно поэтому формула «сокращённая» — среднее слагаемое исчезает само.

Задание 3. Разложить на множители

Разложите: x² − 10x + 25, 49a² − 64, a³ + 8.

Теперь формулы читаются справа налево: видишь три слагаемых с квадратами — ищи квадрат суммы или разности; видишь разность двух квадратов — разность квадратов.

Первое. x² − 10x + 25. Первое слагаемое — квадрат x, последнее — квадрат 5. Проверяем среднее: 2 · x · 5 = 10x — совпадает, знак минус. Значит: x² − 10x + 25 = (x − 5)².

Второе. 49a² − 64 = (7a)² − 8². Разность квадратов: 49a² − 64 = (7a − 8)(7a + 8).

Третье. a³ + 8 = a³ + 2³. Сумма кубов: a³ + 8 = (a + 2)(a² − 2a + 4). Обрати внимание: во второй скобке −2a, а не −4a, и +4, а не +2. Формула суммы кубов — «неполный квадрат разности»: a² − ab + b² без двойки.

Проверка третьего. a = 1: слева 1 + 8 = 9; справа 3 · (1 − 2 + 4) = 3 · 3 = 9. Сходится.

Ответ: (x − 5)²; (7a − 8)(7a + 8); (a + 2)(a² − 2a + 4).

Как понять, что трёхчлен — полный квадрат: извлеки корни из первого и последнего слагаемых, удвой их произведение и сравни со средним. Совпало — квадрат. Нет — ищи другой способ (группировка или, в 8 классе, дискриминант). Если среднее не совпадает, например x² − 8x + 25, — это не полный квадрат, и «подгонять» его нельзя.

Задание 4. Вычислить рационально

Вычислите без калькулятора: 101², 53² − 47², 98 · 102.

Здесь формулы работают как трюки устного счёта.

Первое. 101 = 100 + 1. Квадрат суммы: 101² = 100² + 2 · 100 · 1 + 1² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.

Второе. Разность квадратов наоборот: 53² − 47² = (53 − 47)(53 + 47) = 6 · 100 = 600. Сравни с «честным» счётом: 2809 − 2209 = 600. Тот же ответ, но в уме — только через формулу.

Третье. 98 = 100 − 2, 102 = 100 + 2: 98 · 102 = (100 − 2)(100 + 2) = 100² − 2² = 10 000 − 4 = 9996.

Ответ: 10 201; 600; 9996.

Совет: любое число рядом с круглым представляй как «круглое ± маленькое»: 99 = 100 − 1, 1002 = 1000 + 2, 48 = 50 − 2. Тогда квадраты и произведения считаются в уме. На ОГЭ такие примеры есть каждый год.

Задание 5. Решить уравнение через формулы

Решите: (x + 2)² − (x − 3)² = 15.

Способ 1 — раскрыть. (x + 2)² = x² + 4x + 4. (x − 3)² = x² − 6x + 9. Вычитаем всю вторую скобку, меняя знаки: x² + 4x + 4 − x² + 6x − 9 = 15. 10x − 5 = 15, 10x = 20, x = 2.

Способ 2 — разность квадратов. Выражение слева — разность квадратов двух выражений: A² − B² где A = x + 2, B = x − 3. (A − B)(A + B) = ((x + 2) − (x − 3))((x + 2) + (x − 3)) = (5)(2x − 1). 5(2x − 1) = 15, 2x − 1 = 3, x = 2.

Проверка. x = 2: (4)² − (−1)² = 16 − 1 = 15. Верно.

Ответ: 2.

Второй способ короче и без x², но требует увидеть разность квадратов. Первый — надёжнее, если сомневаешься. Главное в первом способе — минус перед второй скобкой меняет все знаки внутри.

Задание 6. Упростить и доказать тождество

Упростите: (a + b)² − (a − b)².

(a² + 2ab + b²) − (a² − 2ab + b²) = a² + 2ab + b² − a² + 2ab − b² = 4ab.

Ответ: 4ab.

Это не просто пример, а полезное тождество: разность квадратов суммы и разности равна учетверённому произведению. Его же можно получить через разность квадратов: ((a + b) − (a − b))((a + b) + (a − b)) = (2b)(2a) = 4ab.

Проверка. a = 3, b = 2: 25 − 1 = 24; 4 · 3 · 2 = 24. Сходится.

Задания «докажите тождество» решаются так же: упрощаешь левую часть, пока не получится правая. Нельзя переносить из одной части в другую — это не уравнение, а утверждение, которое надо проверить.

Как учить формулы, чтобы не забыть

1. Выведи каждую сам один раз на бумаге — раскрытием скобок. Не читай вывод, а пиши.
2. Проверяй на числах каждый раз, когда сомневаешься в знаке. a = 1, b = 1 или a = 2, b = 1.
3. Читай формулы в обе стороны. Слева направо — раскрытие, справа налево — разложение. Это одна формула, а не две темы.
4. Ищи «a» и «b» в задании. В (2a − 5)² буква a формулы — это 2a, а b — это 5. Выпиши их на полях перед раскрытием.
5. Решай по 5 примеров в день неделю — не по 30 за один вечер. Формулы должны стать рефлексом, а рефлекс тренируется повторением с перерывами.

Пример: Настя, 7 класс, написала контрольную по формулам на «2»: перепутала знаки в трёх примерах из пяти. Учитель посоветовал перед каждым примером проверять формулу на единицах. На пересдаче — «5»; проверка занимала 10 секунд на пример, а знаки перестали теряться.

Типичные ошибки

• Минус перед b² в квадрате разности. (a − b)² = a² − 2ab + b², последний знак всегда плюс.
• Забывать удвоить произведение. (x + 3)² ≠ x² + 3x + 9. Среднее — 2 · x · 3 = 6x.
• Не возводить в квадрат коэффициент. (2a)² = 4a², (3x)² = 9x².
• Раскрывать (a + b)² как a² + b². Проверка на единицах: 4 ≠ 2.
• Терять знаки при вычитании скобки. Минус перед скобкой меняет все знаки внутри.
• «Подгонять» под полный квадрат. Если удвоенное произведение не совпадает со средним членом — это не квадрат.
• Путать сумму кубов с кубом суммы. a³ + b³ — две скобки; (a + b)³ — четыре слагаемых.

Частые вопросы

Как запомнить формулы сокращённого умножения?

Не запоминать, а выводить: (a + b)² = (a + b)(a + b), раскрой и приведи подобные. Сделай это по разу для каждой формулы своей рукой. После этого достаточно помнить структуру «квадрат первого, удвоенное произведение, квадрат второго», а знаки проверять подстановкой a = 1, b = 1.

Чем квадрат разности отличается от разности квадратов?

Квадрат разности — (a − b)², это одна скобка в квадрате, раскрывается в три слагаемых: a² − 2ab + b². Разность квадратов — a² − b², это два квадрата с минусом между ними, раскладывается на две скобки: (a − b)(a + b). Проверка: (3 − 1)² = 4, а 3² − 1² = 8 — разные вещи.

Как разложить на множители с помощью формул?

Посмотри на выражение: два слагаемых-квадрата с минусом — разность квадратов; три слагаемых, где крайние — квадраты, а среднее — удвоенное произведение их корней, — квадрат суммы или разности; сумма или разность кубов — соответствующая формула. Если ни одна не подходит — вынеси общий множитель и посмотри снова.

Как проверить, правильно ли раскрыл скобки?

Подставь маленькие числа вместо букв в исходное выражение и в результат. Если значения совпали при двух разных наборах чисел (например, a = 1, b = 1 и a = 2, b = 1), раскрытие верное. Это занимает секунды и ловит любую ошибку в знаке или коэффициенте.

Зачем нужны формулы сокращённого умножения?

Для трёх вещей: быстро раскрывать скобки без умножения «каждое на каждое», раскладывать выражения на множители (это нужно для решения уравнений и сокращения дробей в 8 классе) и считать в уме примеры вроде 101² или 53² − 47². В 8–9 классах и на ОГЭ без них не сокращается ни одна алгебраическая дробь.

Что дальше

• Разбор уравнений: линейные, квадратные, с параметром
• Алгебра 8 класс: разбор типовых задач
• Степени и корни с разбором
• Как выучить формулы
• Не сходится знак — покажи свой ход и спроси про шаг: Razbery