Неравенство x² − 5x + 6 > 0 выглядит как уравнение, только вместо «равно» стоит «больше». Логично попробовать решить его как уравнение: найти корни 2 и 3 и написать в ответ «x > 2 и x > 3». Ответ неверный, и на ОГЭ он стоит ноль баллов.
Проблема в том, что у неравенства ответ — не число, а промежуток. Иногда два. Иногда вся прямая или пустое множество. И чтобы найти его, нужен один-единственный инструмент — метод интервалов. Он работает для квадратных, кубических, дробных неравенств и для систем — везде одинаково.
В статье: почему линейные неравенства решаются иначе, чем уравнения, алгоритм метода интервалов, правило чередования знаков и когда оно ломается, пять задач с полным решением.
Линейные неравенства: одно правило, которое все забывают
Линейное неравенство решается как уравнение, с одним отличием: при умножении или делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
−2x > 6 → делим на −2 → x < −3. Не x > −3.
Почему: 3 > 2 — верно. Умножим обе части на −1: −3 > −2 — ложь. Чтобы осталось верным, переворачиваем: −3 < −2.
Ответ записывается промежутком: x < −3 — это (−∞; −3). Круглая скобка — граница не включена. Квадратная — включена: x ≤ −3 → (−∞; −3]. У бесконечности всегда круглая.
Зачем нужен метод интервалов
Возьмём (x − 2)(x − 3) > 0. Произведение положительно, если оба множителя одного знака. Можно перебирать случаи «оба плюс / оба минус» — для двух множителей это ещё терпимо, для трёх — восемь случаев, для дробного неравенства — кошмар.
Метод интервалов делает то же самое, но за 30 секунд. Он основан на простом наблюдении: выражение может сменить знак только в тех точках, где оно равно нулю или не существует. Между этими точками знак постоянен. Значит, достаточно найти точки, разбить прямую на интервалы и проверить знак в каждом — одной подстановкой.
Алгоритм метода интервалов
- Перенеси всё в одну сторону, чтобы справа был ноль:
f(x) > 0(или<,≥,≤). - Разложи левую часть на множители. Для квадратного трёхчлена — через корни:
ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). - Найди нули числителя (корни) и нули знаменателя (если есть дробь).
- Отметь их на числовой прямой. Закрашенный кружок — если точка входит (нестрогое неравенство
≥,≤, и точка из числителя). Пустой кружок — если не входит (строгое неравенство, или точка из знаменателя — всегда пустая, на ноль делить нельзя). - Определи знак на самом правом интервале: подставь большое число (например, 100) в разложенное выражение.
- Двигайся влево. При переходе через точку знак меняется, если множитель в нечётной степени. Если в чётной (
(x − 1)²) — знак не меняется. - Выбери интервалы с нужным знаком. Запиши ответ через объединение
∪.
Совет: знак на правом интервале почти всегда «плюс», если старший коэффициент положительный. Но не полагайся на это — подстановка числа занимает пять секунд и спасает от ошибки, когда где-то затесался минус.
Задача 1. Квадратное неравенство
Условие. Решить x² − 5x + 6 > 0.
Шаг 1. Справа уже ноль.
Шаг 2. Разложим на множители. Корни x² − 5x + 6 = 0: по Виета x₁ = 2, x₂ = 3 (сумма 5, произведение 6). Значит (x − 2)(x − 3) > 0.
Шаг 3. Точки 2 и 3. Неравенство строгое — кружки пустые.
Шаг 4. Правый интервал (3; +∞): подставим x = 10: (8)(7) = 56 > 0. Плюс.
Шаг 5. Переходим через 3 — множитель (x − 3) в первой степени, знак меняется: на (2; 3) минус. Через 2 — снова меняется: на (−∞; 2) плюс.
Шаг 6. Нужен знак «больше нуля» — берём интервалы с плюсом.
Ответ: (−∞; 2) ∪ (3; +∞).
Геометрический смысл: парабола y = x² − 5x + 6 ветвями вверх пересекает ось в точках 2 и 3. Выше оси она снаружи корней, ниже — между ними. Если бы знак был <, ответ был бы (2; 3).
Задача 2. Нестрогое неравенство с отрицательным старшим коэффициентом
Условие. Решить −x² + 4x − 3 ≥ 0.
Шаг 1. Умножим на −1, чтобы избавиться от минуса перед x². Знак меняется: x² − 4x + 3 ≤ 0.
Шаг 2. Корни: x = 1, x = 3 (Виета: сумма 4, произведение 3). (x − 1)(x − 3) ≤ 0.
Шаг 3. Точки 1 и 3, неравенство нестрогое — кружки закрашенные.
Шаг 4. Справа при x = 10: 9 · 7 > 0, плюс. Через 3 — минус. Через 1 — плюс.
Шаг 5. Нужен «меньше или равно нулю» — интервал с минусом плюс сами точки.
Ответ: [1; 3].
Ошибка: умножить на −1 и не перевернуть знак. Получится
x² − 4x + 3 ≥ 0и ответ(−∞; 1] ∪ [3; +∞)— ровно наоборот.
Задача 3. Дробно-рациональное неравенство
Условие. Решить (x + 2) / (x − 4) ≤ 0.
Шаг 1. Справа ноль, дробь уже разложена.
Шаг 2. Нуль числителя: x = −2. Нуль знаменателя: x = 4.
Шаг 3. Кружки. x = −2 — из числителя, неравенство нестрогое — закрашенный. x = 4 — из знаменателя — всегда пустой, там дробь не существует.
Шаг 4. Справа при x = 10: 12 / 6 > 0, плюс. Через 4 — минус. Через −2 — плюс.
Шаг 5. Нужен «≤ 0»: интервал с минусом, точка −2 входит, точка 4 — нет.
Ответ: [−2; 4).
Ловушка, на которую ловят каждый год: нельзя умножать неравенство на знаменатель (x − 4), потому что неизвестен его знак. При x < 4 он отрицательный, и знак пришлось бы перевернуть. Метод интервалов обходит эту проблему целиком.
Задача 4. Кратный корень — где чередование ломается
Условие. Решить (x − 1)²(x + 3) > 0.
Шаг 1. Точки: x = 1 (из квадрата) и x = −3. Обе пустые — неравенство строгое.
Шаг 2. Справа при x = 10: 81 · 13 > 0, плюс.
Шаг 3. Переходим через 1. Множитель (x − 1) во второй степени — знак не меняется. На (−3; 1) по-прежнему плюс.
Шаг 4. Переходим через −3. Степень первая — меняется. На (−∞; −3) минус.
Шаг 5. Нужен плюс: (−3; 1) и (1; +∞). Точка 1 выколота — при x = 1 выражение равно нулю, а нам нужно строго больше.
Ответ: (−3; 1) ∪ (1; +∞).
Проверка на здравый смысл: (x − 1)² всегда ≥ 0, поэтому знак всего произведения определяет (x + 3). Оно положительно при x > −3. Минус точка 1, где всё обращается в ноль. Сходится.
Если бы неравенство было ≥ 0, в ответ вошли бы и точка 1, и точка −3 (в обеих произведение равно нулю), и ответ стал бы [−3; +∞). А если бы было (x − 1)²(x + 3) ≤ 0 — ответ (−∞; −3] ∪ {1}: отдельная точка, где произведение равно нулю. Такие «одинокие точки» в ответе — частая потеря балла.
Задача 5. Система неравенств
Условие. Решить систему: x² − 9 < 0 и 2x + 1 ≥ 0.
Шаг 1. Решаем каждое отдельно.
Первое: (x − 3)(x + 3) < 0. Точки ±3, пустые. Справа плюс, между корнями минус. Ответ первого: (−3; 3).
Второе: 2x ≥ −1, x ≥ −0,5. Ответ второго: [−0,5; +∞).
Шаг 2. Система — значит, должны выполняться оба. Ищем пересечение: рисуем оба промежутка на одной прямой и берём общую часть.
(−3; 3) и [−0,5; +∞) пересекаются на [−0,5; 3).
Ответ: [−0,5; 3).
Если бы это была совокупность (квадратная скобка вместо фигурной, «выполняется хотя бы одно»), брали бы объединение: (−3; +∞).
| Обозначение | Что значит | Что берём |
|---|---|---|
| Фигурная скобка (система) | оба неравенства сразу | пересечение промежутков |
| Квадратная скобка (совокупность) | хотя бы одно | объединение промежутков |
Как оформлять
- Числовая прямая — обязательна. Проверяющий должен видеть точки, кружки и знаки.
- Над каждым интервалом подпиши знак. Под точками — сами числа.
- Нужный промежуток заштрихуй.
- Ответ записывай в виде промежутков с правильными скобками.
x > 2тоже допустимо, но при нескольких промежутках только(−∞; 2) ∪ (3; +∞). - В нестрогих неравенствах проверь каждую точку отдельно: входит она или нет.
Типичные ошибки
Не переворачивают знак при делении на отрицательное. Самая массовая ошибка в линейных неравенствах.
Умножают на знаменатель. Его знак неизвестен, поэтому неизвестно, переворачивать ли неравенство. Только метод интервалов.
Закрашивают нуль знаменателя. На ноль делить нельзя — точка знаменателя всегда выколота, даже в нестрогом неравенстве.
Чередуют знаки механически. Через кратный корень чётной степени знак не меняется. Всегда смотри на степень.
Пишут в ответ корни вместо промежутков. Ответ неравенства — множество, а не два числа.
Путают пересечение и объединение. Система — пересечение, совокупность — объединение.
Теряют одинокие точки. В (x − 1)² (x + 3) ≤ 0 точка x = 1 — часть ответа.
Раскладывают на множители с ошибкой в знаке. x² − 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) — нет. Проверь: корни должны обращать множители в ноль, а x = 2 обращает в ноль (x − 2).
Частые вопросы
Как решать неравенства методом интервалов?
Перенеси всё в левую часть, разложи на множители, найди нули числителя и знаменателя, отметь их на прямой. Определи знак справа подстановкой большого числа, дальше меняй знак при переходе через каждую точку (кроме корней чётной кратности). Выбери промежутки с нужным знаком.
Когда кружок закрашенный, а когда пустой?
Закрашенный — точка входит в ответ: неравенство нестрогое (≥ или ≤) и точка из числителя. Пустой — строгое неравенство (>, <) или точка из знаменателя. Нуль знаменателя не входит никогда, потому что там выражение не существует.
Почему при делении на отрицательное число знак меняется?
Потому что умножение на отрицательное число переворачивает порядок чисел на прямой: из 3 > 2 получается −3 < −2. Чтобы неравенство осталось верным, знак приходится развернуть. На положительное число делить можно без изменений.
Как решать квадратное неравенство?
Найди корни квадратного трёхчлена, разложи его на множители a(x − x₁)(x − x₂), дальше метод интервалов. Или через параболу: если старший коэффициент положительный, трёхчлен положителен снаружи корней и отрицателен между ними. Если корней нет — знак трёхчлена везде совпадает со знаком a.
Чем отличается система неравенств от совокупности?
В системе (фигурная скобка) все неравенства должны выполняться одновременно — ответ это пересечение решений. В совокупности (квадратная скобка) достаточно одного — ответ это объединение. Например, x > 1 и x < 3 в системе дают (1; 3), в совокупности — всю прямую.
Что дальше
- Разбор уравнений: линейные квадратные и с параметром — чтобы разложить на множители, надо уметь находить корни.
- Логарифмы для чайников: разбор с нуля — ОДЗ логарифмов решается методом интервалов.
- Функции и графики: разбор от линейной до квадратичной — почему парабола положительна снаружи корней.
- Задачи с параметром: разбор с нуля до ЕГЭ — следующий уровень после метода интервалов.
- Не понимаешь, почему на конкретном интервале такой знак — спроси в Razbery: нарисуют прямую и объяснят каждый переход.