Контрольная по алгебре, первое задание: упростить (a^3)^2 · a^-4. Ты помнишь, что «показатели где-то складываются, а где-то умножаются», но где именно — вылетело. Ставишь наугад, получаешь a^2, а правильный ответ — тоже a^2, но случайно. На следующем примере везение заканчивается.
Проблема степеней и корней не в том, что правил много. Их всего семь, и они выводятся из одной идеи за минуту. Проблема в том, что их зубрят как заклинания, а не понимают. Заклинания забываются, понимание — нет.
В этой статье разберём каждое свойство с объяснением «почему так», посмотрим на корни как на те же степени, а потом решим пять задач полностью, шаг за шагом. В конце — список ошибок, на которых теряют баллы на ОГЭ и ЕГЭ.
Что такое степень и откуда берутся все свойства
Степень — это сокращённая запись умножения одинаковых множителей: a^n = a · a · … · a (n раз). Число a называется основанием, n — показателем.
Из этого определения выводится всё. Не запоминай таблицу — выводи:
| Свойство | Формула | Почему так |
|---|---|---|
| Умножение | a^m · a^n = a^(m+n) |
a·a·a (3 штуки) · a·a (2 штуки) = 5 штук a |
| Деление | a^m : a^n = a^(m−n) |
Из 5 множителей a сокращаем 2 — остаётся 3 |
| Степень степени | (a^m)^n = a^(m·n) |
(a·a·a) взяли 2 раза = 6 множителей |
| Степень произведения | (ab)^n = a^n · b^n |
ab·ab·ab = a·a·a · b·b·b |
| Степень дроби | (a/b)^n = a^n / b^n |
То же самое для деления |
| Нулевой показатель | a^0 = 1 (a ≠ 0) |
a^3 : a^3 = a^0, а число делённое на себя = 1 |
| Отрицательный показатель | a^-n = 1 / a^n |
a^2 : a^5 = a^-3, а если сократить — 1/a^3 |
Обрати внимание на две последние строки. Они не «придуманы», а следуют из свойства деления. Если правило деления работает всегда, то a^0 обязано быть единицей, а a^-n — дробью.
Совет: забыл, складывать показатели или умножать — распиши на маленьком примере.
2^2 · 2^3 = 4 · 8 = 32 = 2^5. Значит, при умножении показатели складываются. Проверка занимает 10 секунд и надёжнее любой памяти.
Чего НЕ существует: главная ловушка
Нет свойства для суммы. a^m + a^n не упрощается в общем виде. 2^3 + 2^3 = 8 + 8 = 16 = 2^4, но это потому что 2^3 + 2^3 = 2 · 2^3. А вот 2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12 — вообще не степень двойки.
И нет свойства для степени суммы: (a + b)^2 ≠ a^2 + b^2. Проверь: (1 + 2)^2 = 9, а 1 + 4 = 5. Правильно — a^2 + 2ab + b^2, это формула сокращённого умножения.
Ещё одна ловушка — знак минус перед основанием:
(−2)^4 = 16— минус внутри скобок, возводим всё число:(−2)(−2)(−2)(−2) = 16.−2^4 = −16— минус снаружи, возводим только 2, потом ставим минус.(−2)^3 = −8— нечётная степень отрицательного числа отрицательна.
Правило: чётная степень «съедает» минус, нечётная — сохраняет.
Корень — это степень с дробным показателем
Арифметический квадратный корень √a — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен a. √16 = 4, потому что 4^2 = 16. Заметь: не ±4, а именно 4. Корень по определению неотрицателен. А вот уравнение x^2 = 16 имеет два корня: x = ±4. Это разные вещи, и на них ловят.
Корень n-й степени ⁿ√a — число, n-я степень которого равна a. ³√8 = 2, ³√(−8) = −2 (нечётный корень из отрицательного числа существует), ⁴√(−16) — не существует в действительных числах.
Ключевая связь: ⁿ√a = a^(1/n). Почему? Потому что (a^(1/n))^n = a^(n · 1/n) = a^1 = a — по свойству степени степени. Значит a^(1/n) — это и есть число, n-я степень которого даёт a.
Отсюда — все свойства корней бесплатно:
| Свойство корня | Через степень |
|---|---|
√(ab) = √a · √b |
(ab)^(1/2) = a^(1/2) · b^(1/2) |
√(a/b) = √a / √b |
степень дроби |
(√a)^2 = a |
(a^(1/2))^2 = a^1 |
√(a^2) = |a| |
модуль! потому что корень неотрицателен |
ⁿ√(a^m) = a^(m/n) |
(a^m)^(1/n) |
Формула √(a^2) = |a| — самая коварная. √((−3)^2) = √9 = 3, а не −3. Если под корнем переменная, пишем модуль: √(x^2) = |x|, и раскрываем, только если знаем знак x.
Ошибка:
√a + √b = √(a+b). Проверь:√9 + √16 = 3 + 4 = 7, а√25 = 5. Сумма корней не сворачивается, как и сумма степеней.
Задача 1. Упростить выражение со степенями
Условие. Упростить (a^3)^2 · a^-4 : a^5 и найти значение при a = 3.
Шаг 1. Степень степени: (a^3)^2 = a^6.
Шаг 2. Умножение — складываем показатели: a^6 · a^-4 = a^2.
Шаг 3. Деление — вычитаем: a^2 : a^5 = a^(2−5) = a^-3.
Шаг 4. Переписываем без отрицательного показателя: a^-3 = 1/a^3.
Шаг 5. Подставляем a = 3: 1/27.
Ответ: 1/a^3; при a = 3 — 1/27.
Проверка: считаем «в лоб» при a = 3. (27)^2 = 729; 3^-4 = 1/81; 729/81 = 9; 9 : 243 = 1/27. Сошлось.
Задача 2. Числовое выражение с разными основаниями
Условие. Вычислить (4^5 · 8^2) / 2^13.
Здесь ловушка: основания разные — 4, 8, 2. Свойства работают только для одинаковых оснований. Значит, всё приводим к двойке.
Шаг 1. 4 = 2^2, значит 4^5 = (2^2)^5 = 2^10.
Шаг 2. 8 = 2^3, значит 8^2 = (2^3)^2 = 2^6.
Шаг 3. Числитель: 2^10 · 2^6 = 2^16.
Шаг 4. Делим: 2^16 : 2^13 = 2^3 = 8.
Ответ: 8.
Это задание встречается в ОГЭ и в базовом ЕГЭ почти каждый год. Алгоритм один: увидел разные основания — раскладывай на простые множители.
Задача 3. Вычислить выражение с корнями
Условие. Найти значение √(7^2 · 18) / √2.
Шаг 1. Объединяем корни в один — деление под общий корень: √((49 · 18) / 2).
Шаг 2. Сокращаем под корнем: 18 / 2 = 9. Получаем √(49 · 9).
Шаг 3. Корень произведения: √49 · √9 = 7 · 3 = 21.
Ответ: 21.
Можно было и по-другому: √(49 · 18) = 7√18 = 7√(9 · 2) = 21√2, потом 21√2 / √2 = 21. Оба пути верны — выбирай тот, где меньше вычислений.
Задача 4. Вынести множитель из-под корня и сравнить
Условие. Сравнить 3√5 и 2√11.
Сравнивать «на глаз» нельзя. Внесём множители под корень.
Шаг 1. 3√5 = √(3^2 · 5) = √(9 · 5) = √45.
Шаг 2. 2√11 = √(2^2 · 11) = √(4 · 11) = √44.
Шаг 3. 45 > 44, значит √45 > √44.
Ответ: 3√5 > 2√11.
Внесение под корень работает, только если множитель неотрицателен. −3√5 внести под корень как √45 нельзя — получится положительное число, а исходное было отрицательным.
Задача 5. Дробный показатель и корень с переменной
Условие. Упростить (x^(3/4))^8 · ⁴√(x^2) при x > 0.
Шаг 1. Степень степени: (x^(3/4))^8 = x^(3/4 · 8) = x^6.
Шаг 2. Корень в степень: ⁴√(x^2) = x^(2/4) = x^(1/2). (Так как x > 0, модуль не нужен.)
Шаг 3. Умножаем: x^6 · x^(1/2) = x^(6 + 1/2) = x^(13/2).
Шаг 4. Если хочется без дробного показателя: x^(13/2) = x^6 · √x.
Ответ: x^(13/2), или x^6 · √x.
Дробные показатели — это просто. a^(m/n) означает «корень n-й степени из a в степени m». Числитель — степень, знаменатель — корень. 8^(2/3) = (³√8)^2 = 2^2 = 4.
Как оформлять и не терять баллы
- Раскладывай числа на простые множители до того, как применять свойства.
12^3— это(2^2 · 3)^3 = 2^6 · 3^3. - Отрицательные показатели переводи в дроби только в самом конце. Пока идут преобразования, с ними удобнее.
- Под корнем всегда ищи полный квадрат:
√72 = √(36 · 2) = 6√2. Ответ вида√72на ЕГЭ засчитают, но в сравнениях с ним ничего не сделаешь. - Если под корнем переменная в чётной степени — пиши модуль, а потом смотри на область допустимых значений.
- Проверяй числами. Подставь
a = 2в исходное и в ответ — должны совпасть.
Пример: ученица 8 класса решала
√(x^2 − 6x + 9)приx < 3. Свернула в√((x−3)^2) = x − 3. Ответ неверный: приx < 3выражениеx − 3отрицательно, а корень отрицательным быть не может. Правильно:|x − 3| = 3 − x. Одна потерянная скобка модуля — минус балл.
Типичные ошибки
Складывают показатели при возведении в степень. (a^2)^3 = a^5 — неверно, a^6. Проверь на числах: (2^2)^3 = 4^3 = 64 = 2^6.
Применяют свойства к сумме. a^2 + a^3 = a^5 — нет. Можно только вынести общий множитель: a^2(1 + a).
Перемножают основания. 2^3 · 3^3 = 6^3 — верно (одинаковые показатели). А 2^3 · 3^2 = 6^5 — грубая ошибка: 8 · 9 = 72, а 6^5 = 7776.
Забывают, что корень неотрицателен. √16 = ±4 — неверно, √16 = 4. Знак ± появляется только при решении уравнения x^2 = 16.
Теряют модуль. √(x^2) = x — только при x ≥ 0. В общем случае |x|.
Путают −a^n и (−a)^n. Минус без скобок относится к результату, а не к основанию.
Делят показатели при делении степеней. a^6 : a^2 = a^3 — неверно, a^4. Показатели вычитаются, а не делятся.
Частые вопросы
Почему любое число в нулевой степени равно 1?
Потому что иначе сломается правило деления. a^3 : a^3 = a^(3−3) = a^0, а с другой стороны, любое число, делённое на себя, равно 1. Чтобы оба ответа совпадали, a^0 обязано быть единицей. Исключение — 0^0, оно не определено: делить ноль на ноль нельзя.
Как считать степень с отрицательным показателем?
a^-n = 1/a^n: переворачиваешь и меняешь знак показателя. 2^-3 = 1/2^3 = 1/8. Если основание — дробь, просто переверни её: (2/3)^-2 = (3/2)^2 = 9/4. Отрицательный показатель не делает число отрицательным — 2^-3 положительно.
Чем отличается корень от степени?
Ничем принципиально: ⁿ√a = a^(1/n). Корень — это степень с дробным показателем. Поэтому все свойства корней повторяют свойства степеней. Различие только в том, что чётный корень из отрицательного числа не существует, а √(a^2) = |a|.
Как извлечь корень из большого числа без калькулятора?
Разложи на простые множители и ищи пары. √1764: 1764 = 4 · 441 = 4 · 9 · 49 = 2^2 · 3^2 · 7^2. Из каждой пары выходит один множитель: 2 · 3 · 7 = 42. Если пар не хватило — оставшиеся множители остаются под корнем: √72 = √(2^3 · 3^2) = 2 · 3 · √2 = 6√2.
Что такое степень с дробным показателем и зачем она нужна?
a^(m/n) = ⁿ√(a^m): знаменатель — степень корня, числитель — показатель. Нужна, чтобы работать с корнями теми же свойствами, что и со степенями: перемножать, делить, возводить. Без дробных показателей выражение √a · ³√a упростить трудно, с ними — a^(1/2 + 1/3) = a^(5/6) за одну строку.
Что дальше
- Алгебра 7 класс: формулы сокращённого умножения с разбором — там же про
(a+b)^2, который все путают со степенями. - Логарифмы для чайников: разбор с нуля — логарифм это обратная операция к степени, тема идёт следом.
- Дроби: разбор всех действий с примерами — если дробные показатели пугают из-за самих дробей.
- Типичные ошибки ОГЭ по математике: разбор по заданиям — степени и корни там в топе.
- Не сходится конкретный пример — задай вопрос в Razbery: ответят с разбором каждого шага, а не голым числом.