Разбор уравнений: линейные, квадратные и с параметром

«Перенеси в другую сторону с противоположным знаком» — фразу ты слышал сто раз, а уравнение всё равно не сходится с ответом. Потом появляется дискриминант, и все запоминают формулу, не понимая, откуда она. Потом — параметр, и половина класса просто сдаётся.

Все три типа уравнений держатся на одной идее: равенство остаётся верным, если с обеими частями делать одно и то же. Из этой идеи выводится и «перенос со сменой знака», и умножение на общий знаменатель, и решение через дискриминант. Ниже — шесть уравнений от 6 до 9 класса, разобранных так, чтобы было понятно не только «как», но и «почему», плюс проверка и список ошибок, из-за которых ответ не сходится.

Что общего у всех уравнений

Любой шаг решения — это одно из четырёх действий с обеими частями: прибавить (вычесть) одно и то же, умножить (разделить) на одно и то же ненулевое число. «Перенос через равно со сменой знака» — это вычитание из обеих частей, просто записанное коротко.

Уравнение 1. Линейное с дробями

Решить: (x + 1) / 3 − (x − 2) / 4 = 1.

Шаг 1. Избавляемся от знаменателей. Общий знаменатель 3 и 4 — это 12. Умножаем обе части на 12: 12 · (x + 1) / 3 − 12 · (x − 2) / 4 = 12 · 1 4(x + 1) − 3(x − 2) = 12

Почему можно? Умножили обе части на одно и то же число — равенство не нарушилось.

Шаг 2. Раскрываем скобки. Осторожно с минусом перед второй скобкой — он меняет оба знака внутри: 4x + 4 − 3x + 6 = 12

Шаг 3. Приводим подобные. x + 10 = 12.

Шаг 4. Переносим. Вычитаем 10 из обеих частей: x = 2.

Проверка. Подставляем в исходное: (2 + 1) / 3 − (2 − 2) / 4 = 1 − 0 = 1. Верно.

Ответ: 2.

Ошибка: умножить на 12 только левую часть, а справа оставить 1. Это самая частая ошибка в дробных уравнениях: правая часть тоже умножается, даже если там «просто число».

Уравнение 2. Линейное без корней

Решить: 5x − 7 = 2(x + 4) + 3x.

Шаг 1. Раскрываем скобки справа: 5x − 7 = 2x + 8 + 3x = 5x + 8.

Шаг 2. Переносим 5x влево: 5x − 5x − 7 = 8, то есть 0 · x − 7 = 8, или −7 = 8.

Получилось неверное числовое равенство, в котором x исчез. Это не ошибка вычислений — это ответ: какое бы x мы ни взяли, равенство не выполнится.

Ответ: корней нет.

Если бы вместо −7 = 8 получилось, например, 8 = 8, ответ был бы «x — любое число». Оба случая встречаются в контрольных именно для того, чтобы проверить, понимаешь ли ты, что уравнение — это вопрос «при каких x верно?», а не машина для получения числа.

Уравнение 3. Квадратное через дискриминант

Решить: 2x² − 5x − 3 = 0.

Шаг 1. Определяем коэффициенты. a = 2, b = −5, c = −3. Знаки — часть коэффициента: b равно минус пять, а не пять.

Шаг 2. Дискриминант. D = b² − 4ac = (−5)² − 4 · 2 · (−3) = 25 + 24 = 49.

Заметь: −4 · 2 · (−3) — минус на минус даёт плюс, поэтому 24 прибавляется. Это второе место, где чаще всего теряют знак.

Шаг 3. Смотрим на D. 49 > 0 — два корня. √49 = 7.

Шаг 4. Корни. x = (−b ± √D) / (2a) = (5 ± 7) / 4. x₁ = (5 + 7) / 4 = 12 / 4 = 3. x₂ = (5 − 7) / 4 = −2 / 4 = −0,5.

Проверка. Для x = 3: 2 · 9 − 15 − 3 = 18 − 18 = 0. Для x = −0,5: 2 · 0,25 + 2,5 − 3 = 0,5 + 2,5 − 3 = 0. Оба верны.

Ответ: 3; −0,5.

Откуда берётся формула? Из выделения полного квадрата: уравнение приводят к виду (x + b/2a)² = D / 4a², и извлекают корень. Понимать вывод не обязательно для решения, но полезно, чтобы формула не «выпадала» из головы на контрольной.

Уравнение 4. Квадратное через теорему Виета

Решить: x² − 7x + 12 = 0.

Когда a = 1, быстрее Виета: сумма корней равна −b = 7, произведение равно c = 12.

Шаг 1. Ищем два числа, которые в произведении дают 12: 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Шаг 2. Какая пара в сумме даёт 7? 3 + 4 = 7. Шаг 3. Знаки: произведение положительное — знаки одинаковые; сумма положительная — оба плюс.

Ответ: 3; 4.

Проверка через дискриминант: D = 49 − 48 = 1, x = (7 ± 1) / 2 — 4 и 3. Совпало.

Совет: Виета работает надёжно только при a = 1 и целых корнях. Если подобрать не получается за 20 секунд — не мучайся, считай дискриминант. Он работает всегда.

Уравнение 5. Неполные квадратные

Решить: 3x² − 12 = 0 и x² + 5x = 0.

Первое. Нет слагаемого с x (b = 0). Переносим и делим: 3x² = 12, x² = 4. Извлекаем корень — и здесь ловушка: x = 2 или x = −2, потому что (−2)² = 4 тоже. Ответ: ±2.

Второе. Нет свободного члена (c = 0). Выносим x за скобки: x(x + 5) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x + 5 = 0, то есть x = −5. Ответ: 0; −5.

Ошибка, которую делают почти все: в уравнении x² + 5x = 0 разделить обе части на x и получить x = −5. Корень x = 0 потерян — делить на x нельзя, потому что x может быть нулём. Выносить за скобки — можно всегда.

Уравнение 6. Линейное с параметром

Решить относительно x: (a − 2)x = a² − 4.

Параметр a — это число, которое нам не сказали. Уравнение линейное, и чтобы найти x, надо разделить на (a − 2). Но делить можно только на ненулевое число — значит, случай a = 2 нужно рассмотреть отдельно.

Случай 1: a = 2. Подставляем: 0 · x = 4 − 4, то есть 0 = 0. Верно при любом x. Ответ для a = 2: x — любое число.

Случай 2: a ≠ 2. Делим обе части на (a − 2). Заметим, что a² − 4 = (a − 2)(a + 2) — разность квадратов. Тогда: x = (a − 2)(a + 2) / (a − 2) = a + 2. Ответ для a ≠ 2: x = a + 2.

Проверка. Возьмём a = 3: уравнение 1 · x = 9 − 4 = 5, а формула даёт x = 3 + 2 = 5. Сходится.

Вся суть задач с параметром — в вопросе «при каких a мой следующий шаг незаконен?». Делишь — проверь, не ноль ли. Извлекаешь корень — проверь, не отрицательное ли.

Уравнение 7. Квадратное с параметром

При каких a уравнение x² + ax + 9 = 0 имеет ровно один корень?

Квадратное уравнение имеет один корень, когда D = 0.

Шаг 1. D = a² − 4 · 1 · 9 = a² − 36. Шаг 2. a² − 36 = 0, a² = 36, a = ±6.

Проверка. При a = 6: x² + 6x + 9 = (x + 3)² = 0, корень x = −3 — один. При a = −6: (x − 3)² = 0, корень 3 — один.

Ответ: a = 6 или a = −6.

Дальше идут вопросы «при каких a два корня» (D > 0, то есть a < −6 или a > 6) и «нет корней» (−6 < a < 6). Подробнее все типы разобраны в статье задачи с параметром.

Как проверять уравнение

Порядок проверки, который занимает минуту и ловит почти всё:

1. Подстановка в исходное уравнение, а не в преобразованное. Если ошибка была в первом шаге, подстановка в третий шаг её не найдёт.
2. Сверка числа корней с типом. Линейное — не больше одного; квадратное — не больше двух. Три корня у квадратного — ошибка точно.
3. Виета для квадратного: сумма корней равна −b/a, произведение — c/a. Для уравнения 3: 3 + (−0,5) = 2,5 = 5/2 и 3 · (−0,5) = −1,5 = −3/2. Сходится.

Пример: Вика, 8 класс, получила корни 3 и 0,5 в уравнении 2x² − 5x − 3 = 0. Проверка по Виета: произведение 1,5, а должно быть −1,5. Знак потерян при вычислении второго корня: (5 − 7) / 4 — это −0,5, а не 0,5. Нашла ошибку за полминуты.

Типичные ошибки

• Умножать на знаменатель только одну часть. Обе части — всегда.
• Терять минус перед скобкой. −(x − 2) = −x + 2, оба знака меняются.
• Брать b без знака. В 2x² − 5x − 3 коэффициент b = −5.
• Ошибаться в −4ac при отрицательном c. Минус на минус — плюс, дискриминант растёт.
• Извлекать корень с одним знаком. x² = 4 даёт два корня.
• Делить на x. Теряется корень 0. Выноси за скобки.
• Делить на выражение с параметром без проверки на ноль. Теряется целый случай.
• Останавливаться на −7 = 8 как на «ошибке». Это ответ: корней нет.

Частые вопросы

Как решать линейные уравнения с дробями?

Найди общий знаменатель всех дробей и умножь на него обе части уравнения — дроби исчезнут. Дальше раскрой скобки, собери x слева, числа справа, раздели на коэффициент при x. Проверь подстановкой в исходное уравнение, а не в то, которое получилось после умножения.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

В школьной программе — записать «корней нет». Квадрат любого числа неотрицателен, поэтому из отрицательного числа корень не извлекается. Это нормальный ответ, а не ошибка. Но сначала перепроверь −4ac: если c отрицательное, дискриминант обычно положительный.

Когда можно использовать теорему Виета?

Когда коэффициент при x² равен 1 (или его легко сделать единицей, разделив уравнение), а корни ожидаются целыми. Тогда подбор занимает секунды. Если за 20 секунд пара не находится — переходи на дискриминант, это не «менее правильный» способ.

Как решать уравнения с параметром?

Смотри, на каком шаге решения ты делишь или извлекаешь корень, и спрашивай: «при каких a это незаконно?». Эти значения разбирай отдельно как случаи. В остальных случаях решай как обычное уравнение, выражая x через a. В ответе — все случаи с указанием, при каких a какой ответ.

Почему при решении теряется корень?

Чаще всего из-за деления на выражение с x (например, на x или на x − 1): при значении, где выражение равно нулю, деление незаконно, и этот корень выпадает. Вместо деления выноси общий множитель за скобки и приравнивай каждый множитель к нулю.

Что дальше

• Задачи с параметром: разбор всех типов
• Системы уравнений с разбором
• Неравенства с разбором
• Алгебра 8 класс: разбор типовых задач
• Не сходится корень — покажи свой ход и спроси про шаг: Razbery