Алгебра 8 класс: квадратные уравнения и дискриминант с разбором

Учитель написал на доске x² − 5x + 6 = 0, сказал «дискриминант», и половина класса поняла, а вторая половина кивнула. Ты во второй половине. Дома открыл учебник — там формула с корнем, буквы a, b, c, и непонятно, откуда что берётся и почему «если D меньше нуля, корней нет».

Квадратные уравнения — главная тема 8 класса. Дальше на них держится всё: неравенства, функции, задачи в ОГЭ и ЕГЭ. Если сейчас понять их по-настоящему, а не заучить формулу, следующие три года алгебры станут заметно легче.

В этой статье — объяснение с нуля: что такое квадратное уравнение, зачем нужен дискриминант, как решать неполные уравнения без формулы, как проверять себя теоремой Виета. И шесть задач с разбором каждого шага — как в хорошем ответе на Razbery, где объясняют логику, а не выдают «x = 3».

Что такое квадратное уравнение

Квадратное уравнение — это уравнение вида ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Три числа перед буквами называются коэффициентами:

Главная ловушка — знаки. Коэффициент берётся вместе со знаком перед ним. В уравнении x² − 5x + 6 = 0 коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6. Не b = 5.

Если перед x² ничего не стоит — значит, a = 1. Если какого-то слагаемого нет — коэффициент равен нулю, и уравнение называется неполным (о них ниже).

Ошибка: уравнение 3x = x² − 4 нельзя решать «как есть». Сначала переноси всё в одну сторону: x² − 3x − 4 = 0. Только тогда видно, что a = 1, b = −3, c = −4.

Дискриминант: что это и зачем он нужен

Дискриминант — это число, которое считается по коэффициентам:

D = b² − 4ac

Слово происходит от латинского «различать». Дискриминант различает три случая — сколько у уравнения корней:

Формула корней:

x = (−b ± √D) / (2a)

Знак ± означает, что считаешь два раза: один раз с плюсом, второй — с минусом.

Откуда берётся формула

Учить формулу «потому что так надо» — плохо, забудешь через месяц. Вот идея, откуда она. Возьмём x² + 6x + 5 = 0. Заметим, что x² + 6x — это почти квадрат (x + 3)² = x² + 6x + 9. Тогда:

x² + 6x + 5 = (x + 3)² − 9 + 5 = (x + 3)² − 4

Уравнение стало (x + 3)² = 4, откуда x + 3 = 2 или x + 3 = −2, то есть x = −1 или x = −5. Формула с дискриминантом — это тот же приём («выделение полного квадрата»), проделанный один раз для общего вида ax² + bx + c. Число под корнем как раз и оказывается b² − 4ac.

Алгоритм решения по шагам

1. Приведи уравнение к виду ax² + bx + c = 0 (всё в левую часть, справа ноль).
2. Выпиши a, b, c со знаками.
3. Посчитай D = b² − 4ac.
4. Если D < 0 — пиши «корней нет» и заканчивай.
5. Извлеки √D.
6. Подставь в x = (−b ± √D) / (2a), посчитай оба корня.
7. Проверь хотя бы один корень подстановкой в исходное уравнение.

Задача 1. Классическое уравнение с двумя корнями

Реши: x² − 5x + 6 = 0.

Шаг 1. Коэффициенты: a = 1, b = −5, c = 6.

Шаг 2. Дискриминант: D = (−5)² − 4 · 1 · 6 = 25 − 24 = 1. Внимание: (−5)² — это 25, минус в квадрате исчезает.

Шаг 3. D > 0, значит два корня. √1 = 1.

Шаг 4. x₁ = (5 + 1) / 2 = 3, x₂ = (5 − 1) / 2 = 2. Здесь −b = −(−5) = 5.

Проверка: 3² − 5 · 3 + 6 = 9 − 15 + 6 = 0 ✓.

Ответ: 2; 3.

Задача 2. Когда a не равно единице

Реши: 2x² + 3x − 5 = 0.

Шаг 1. a = 2, b = 3, c = −5.

Шаг 2. D = 3² − 4 · 2 · (−5) = 9 + 40 = 49. Минус на минус даёт плюс: −4 · 2 · (−5) = +40. Именно здесь чаще всего ошибаются.

Шаг 3. √49 = 7.

Шаг 4. Знаменатель 2a = 4. x₁ = (−3 + 7) / 4 = 1, x₂ = (−3 − 7) / 4 = −10 / 4 = −2,5.

Проверка: 2 · 1 + 3 − 5 = 0 ✓.

Ответ: −2,5; 1.

Задача 3. Один корень, D = 0

Реши: x² − 6x + 9 = 0.

Шаг 1. a = 1, b = −6, c = 9.

Шаг 2. D = 36 − 36 = 0.

Шаг 3. Один корень: x = 6 / 2 = 3.

Заметь: левая часть — это (x − 3)². Полный квадрат всегда даёт D = 0. Если видишь такое сразу, можно обойтись без дискриминанта: (x − 3)² = 0, откуда x = 3.

Ответ: 3.

Задача 4. Корней нет

Реши: x² + 2x + 5 = 0.

a = 1, b = 2, c = 5. D = 4 − 20 = −16. Дискриминант отрицательный.

Ответ: корней нет.

Почему так? x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4. Квадрат никогда не меньше нуля, плюс 4 — всегда положительно. Левая часть не может стать нулём ни при каком x.

Совет: «корней нет» — это полноценный ответ, а не ошибка в решении. Не пытайся «извлечь корень из −16» — в 8 классе таких чисел нет.

Неполные квадратные уравнения

Если b = 0 или c = 0, дискриминант не нужен: есть более быстрые способы.

Задача 5а. Нет слагаемого с x

Реши: 3x² − 12 = 0.

Переносим: 3x² = 12, делим на 3: x² = 4. Корни: x = 2 и x = −2. Оба! Забыть минус — самая частая ошибка в этом типе.

Если бы было x² = −4, ответ — корней нет: квадрат не бывает отрицательным.

Ответ: −2; 2.

Задача 5б. Нет свободного члена

Реши: x² + 7x = 0.

Выносим x за скобку: x(x + 7) = 0. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x + 7 = 0, то есть x = −7.

Ответ: −7; 0.

Ошибка: делить обе части x² + 7x = 0 на x. Получится x + 7 = 0 и потеряется корень x = 0. На неизвестное делить нельзя, потому что оно может быть нулём.

Теорема Виета: проверка за 5 секунд

Для приведённого уравнения (a = 1) x² + px + q = 0 верно:

• x₁ + x₂ = −p (сумма корней равна второму коэффициенту с противоположным знаком),
• x₁ · x₂ = q (произведение корней равно свободному члену).

Проверим задачу 1: x² − 5x + 6 = 0, корни 2 и 3. Сумма 2 + 3 = 5 = −(−5) ✓, произведение 2 · 3 = 6 ✓.

Виета работает и в обратную сторону: чтобы решить x² − 7x + 12 = 0, подбери два числа, которые в сумме дают 7, а в произведении 12. Это 3 и 4. Готово, без дискриминанта.

Задача 6. Текстовая задача на квадратное уравнение

Условие: площадь прямоугольника 24 см², длина на 2 см больше ширины. Найди стороны.

Шаг 1. Обозначим ширину x см. Тогда длина x + 2 см.

Шаг 2. Площадь = длина × ширина: x(x + 2) = 24.

Шаг 3. Раскроем скобки и перенесём: x² + 2x − 24 = 0.

Шаг 4. D = 4 − 4 · 1 · (−24) = 4 + 96 = 100, √100 = 10.

Шаг 5. x₁ = (−2 + 10) / 2 = 4, x₂ = (−2 − 10) / 2 = −6.

Шаг 6. Ширина не может быть отрицательной, значит x = 4. Длина 4 + 2 = 6.

Проверка: 4 · 6 = 24 ✓.

Ответ: 4 см и 6 см.

Пример: Даша из 8 «Б» решала эту задачу, получила корни 4 и −6 и написала в ответ оба. Учитель снял балл: в текстовой задаче всегда проверяй, подходит ли корень по смыслу. Отрицательная ширина, отрицательное количество людей, скорость 200 км/ч у пешехода — такие корни отбрасываются с пояснением «не удовлетворяет условию».

Типичные ошибки

• Потерянный знак коэффициента. В x² − 5x + 6 пишут b = 5. Всегда переписывай коэффициенты со знаком отдельной строкой.
• (−5)² = −25. Квадрат отрицательного числа положителен. Всегда.
• −4ac при отрицательном c. −4 · 2 · (−5) даёт +40, а не −40. Считай знак произведения отдельно.
• Делить на 2 вместо 2a. При a = 2 знаменатель равен 4.
• Один корень в неполном x² = 4. Их два: 2 и −2.
• Деление на x. Теряется корень x = 0. Выноси за скобку.
• Не переносить всё в одну сторону. Формула работает только для вида ax² + bx + c = 0.
• Ответ без проверки. Подстановка одного корня занимает 20 секунд и ловит половину ошибок.

Частые вопросы

Как найти дискриминант квадратного уравнения?

По формуле D = b² − 4ac, где a, b, c — коэффициенты уравнения ax² + bx + c = 0, взятые со знаками. Сначала перенеси все слагаемые в левую часть, потом выпиши коэффициенты, потом считай. Например, для 2x² + 3x − 5 = 0: D = 9 − 4 · 2 · (−5) = 49.

Что делать, если дискриминант отрицательный?

Записать в ответ «корней нет». Это правильный и полный ответ: квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом не имеет действительных решений. Ничего извлекать не нужно.

Сколько корней у квадратного уравнения?

Два, один или ни одного — в зависимости от знака дискриминанта. При D > 0 два корня, при D = 0 один, при D < 0 корней нет. Больше двух корней у квадратного уравнения не бывает никогда.

Как решать квадратное уравнение без дискриминанта?

Три способа. Неполные уравнения (ax² + c = 0 или ax² + bx = 0) решаются переносом и вынесением x за скобку. Приведённые уравнения с целыми корнями — теоремой Виета: подбираешь числа по сумме и произведению. Любые — разложением на множители, если видишь, как сгруппировать.

Что такое теорема Виета простыми словами?

Для уравнения x² + px + q = 0 сумма корней равна −p, а произведение равно q. Это позволяет угадать корни без формулы и, что важнее, проверить уже найденные корни за пять секунд.

Что дальше

• Алгебра 7 класс с разбором — если провисают формулы сокращённого умножения, без них квадратные уравнения будут даваться тяжело.
• Алгебра 9 класс: прогрессии и функции — что ждёт дальше.
• Разбор уравнений всех типов — линейные, дробные, с модулем.
• Как разобрать задачу по математике — общий метод для текстовых задач.
• Застрял на конкретном уравнении? Задай вопрос на Razbery — получишь разбор с объяснением каждого шага, а не просто ответ.