Дроби: разбор всех действий с примерами

Дроби — первая тема, на которой математика перестаёт быть «посчитать» и становится «понять правило». И первая, на которой её массово бросают: правил вдруг четыре штуки, они разные, легко перепутать, и вот уже 1/2 + 1/3 превращается в 2/5. Дальше дроби всплывают в процентах, в вероятности, в физике и в производных — и каждый раз тормозят не тема, а арифметика шестого класса.

Хорошая новость: правил действительно четыре, и каждое можно понять, а не запомнить. Плохая — понимать их надо в правильном порядке, потому что сокращение нужно для всего, а общий знаменатель — только для двух действий из четырёх.

Ниже — все действия с дробями по шагам, с проверками и с объяснением, почему правило именно такое. Разбор от «что такое числитель» до многоэтажных дробей и перевода в проценты.

Что такое дробь и что означает дробная черта

Дробь 3/8 — это пицца, разрезанная на 8 одинаковых кусков, из которых взяли 3.

• Знаменатель (снизу) — на сколько равных частей поделили целое. Он называет часть: восьмые, пятые, сотые.
• Числитель (сверху) — сколько таких частей взяли.

Второй, более полезный взгляд: дробная черта — это знак деления. 3/8 = 3 : 8 = 0,375. Отсюда сразу следуют два факта: знаменатель не может быть нулём (на ноль не делят), а любое целое число — это дробь со знаменателем 1: 5 = 5/1. Этим фактом пользуются в умножении и делении на целое.

Виды дробей и перевод между ними

Из неправильной в смешанное. Раздели числитель на знаменатель с остатком: неполное частное — целая часть, остаток — новый числитель. 17 : 5 = 3 (остаток 2) → 17/5 = 3 2/5.

Из смешанного в неправильную. Целую часть умножь на знаменатель и прибавь числитель. 4 3/7 = (4 · 7 + 3)/7 = 31/7.

Совет: для умножения и деления смешанные числа всегда переводят в неправильные. Это не рекомендация, а условие правильного ответа — почему, разберём в задаче про 2 1/3 · 1 1/2.

Сокращение дробей

Основное свойство дроби: числитель и знаменатель можно умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля) — значение не изменится. 1/2 = 2/4 = 50/100 — это одна и та же половина пиццы, просто нарезанная мельче.

Сократить дробь — разделить числитель и знаменатель на общий делитель.

Пример. 42/56. Способ 1, по шагам: оба чётные → 42/56 = 21/28; оба делятся на 7 → 21/28 = 3/4. Способ 2, сразу: НОД(42, 56) = 14, и 42 : 14 = 3, 56 : 14 = 4 → 3/4.

Проверка. 3/4 = 0,75 и 42 : 56 = 0,75 ✓.

Чтобы быстро видеть, на что делится число, держи в голове признаки делимости.

Ошибка: сокращать слагаемые. (2 + 3)/(2 + 5) — это 5/7, а не 3/5. Сокращать можно только множители, то есть когда и сверху, и снизу стоит произведение. Если в числителе сумма — сначала посчитай её или вынеси общий множитель за скобку.

Приведение к общему знаменателю

Складывать можно только одинаковые части: три восьмых и две восьмых — это пять восьмых, а три восьмых и две пятых — пока никак. Значит, нужно порезать обе пиццы на одинаковые куски. Общий знаменатель — это НОК знаменателей (наименьшее общее кратное).

Пример. Привести 5/12 и 7/18 к общему знаменателю. Шаг 1. Разложи знаменатели: 12 = 2 · 2 · 3, 18 = 2 · 3 · 3. Шаг 2. НОК берёт каждый множитель в наибольшей степени: 2 · 2 · 3 · 3 = 36. Шаг 3. Дополнительные множители: 36 : 12 = 3 и 36 : 18 = 2. Шаг 4. Домножаем числитель и знаменатель на свой множитель: 5/12 = (5 · 3)/(12 · 3) = 15/36, 7/18 = (7 · 2)/(18 · 2) = 14/36.

Если НОК искать лень, можно просто перемножить знаменатели: 12 · 18 = 216. Ответ получится верным, но с большими числами, и в конце всё равно придётся сокращать. Для контрольной удобнее НОК, для черновика сойдёт и произведение.

Сложение и вычитание

Правило. Приведи к общему знаменателю, сложи (вычти) числители, знаменатель оставь. Сократи результат.

Пример 1. 5/12 + 7/18 = 15/36 + 14/36 = 29/36. Число 29 простое, сокращать нечего.

Пример 2. 5/6 − 3/4. НОК(6, 4) = 12 → 10/12 − 9/12 = 1/12.

Пример 3, смешанные числа. 3 1/4 + 2 5/6. Шаг 1. Целые части: 3 + 2 = 5. Шаг 2. Дробные: НОК(4, 6) = 12 → 3/12 + 10/12 = 13/12 = 1 1/12. Шаг 3. Складываем: 5 + 1 1/12 = 6 1/12.

Пример 4, вычитание с «занять единицу». 5 1/6 − 2 5/6. Здесь 1/6 меньше, чем 5/6, вычесть напрямую нельзя. Занимаем единицу у целой части: 5 1/6 = 4 + 1 + 1/6 = 4 + 6/6 + 1/6 = 4 7/6. Теперь: 4 7/6 − 2 5/6 = 2 2/6 = 2 1/3.

Проверка. 2 1/3 + 2 5/6 = 2 2/6 + 2 5/6 = 4 7/6 = 5 1/6 ✓ — вернулись к уменьшаемому.

Ошибка номер один во всей теме: 1/2 + 1/3 = 2/5. Проверь здравым смыслом: половина плюс треть — это больше половины, а 2/5 меньше половины. Правильно: 3/6 + 2/6 = 5/6.

Умножение

Правило. Числитель на числитель, знаменатель на знаменатель. Общий знаменатель не нужен.

Пример 1. 3/8 · 4/9. Способ «в лоб»: (3 · 4)/(8 · 9) = 12/72 = 1/6. Способ с сокращением до умножения: 3 и 9 сокращаем на 3, 4 и 8 сокращаем на 4 → остаётся (1 · 1)/(2 · 3) = 1/6. Второй способ надёжнее: не приходится работать с большими числами.

Пример 2, дробь на целое. 5/6 · 3 = 5/6 · 3/1 = 15/6 = 5/2 = 2 1/2. Целое — это дробь со знаменателем 1, поэтому отдельного правила здесь нет.

Пример 3, смешанные числа. 2 1/3 · 1 1/2. Переводим в неправильные: 2 1/3 = 7/3, 1 1/2 = 3/2. Умножаем: (7 · 3)/(3 · 2) = 21/6 = 7/2 = 3 1/2.

Проверка прикидкой. 2 1/3 чуть больше 2, 1 1/2 — полтора; произведение должно быть чуть больше 3. Получили 3 1/2 ✓.

А теперь популярная неправда: перемножить отдельно целые и отдельно дробные части — 2 · 1 + 1/3 · 1/2 = 2 1/6. Ответ не сходится даже с прикидкой. Причина в том, что 2 1/3 — это сумма 2 + 1/3, а при умножении сумм раскрываются все четыре произведения, а не два.

Деление

Правило. Разделить на дробь — значит умножить на перевёрнутую (обратную).

Почему так: 6 : 3/4 спрашивает «сколько трёхчетвертинок помещается в шестёрке». В одной единице их 4/3, значит в шести — 6 · 4/3 = 24/3 = 8. Проверка: 8 · 3/4 = 6 ✓.

Пример 1. 3/4 : 5/8 = 3/4 · 8/5. Сокращаем 8 и 4 на 4: (3 · 2)/(1 · 5) = 6/5 = 1 1/5. Проверка. 1 1/5 · 5/8 = 6/5 · 5/8 = 30/40 = 3/4 ✓.

Пример 2, на целое. 4/9 : 2 = 4/9 · 1/2 = 4/18 = 2/9.

Пример 3, многоэтажная дробь. Запись, где дробь стоит и сверху, и снизу, — это обычное деление: главная (длинная) черта и есть знак деления. (2/3)/(4/9) = 2/3 : 4/9 = 2/3 · 9/4 = 18/12 = 3/2 = 1 1/2.

Ошибка: переворачивать первую дробь вместо второй. Проверка мгновенная: деление на число меньше 1 должно увеличивать результат. 3/4 : 5/8 = 1 1/5 — стало больше 3/4, значит перевернули правильно.

Сравнение дробей

Правило про одинаковые числители кажется странным, пока не вспомнишь пиццу: три куска из семи больше, чем три куска из десяти, потому что чем на большее число частей режут, тем меньше каждая.

Пример. Что больше: 5/8 или 7/11? Через общий знаменатель: НОК(8, 11) = 88 → 5/8 = 55/88, 7/11 = 56/88 → 5/8 < 7/11. Крест-накрест (то же самое, только без записи знаменателя): 5 · 11 = 55, 7 · 8 = 56, 55 < 56 → 5/8 < 7/11.

Важно: при сравнении крест-накрест числитель первой дроби умножают на знаменатель второй, и наоборот. Способ работает только для положительных дробей.

Дробь от числа и число по дроби

Два зеркальных действия, которые путают чаще всего.

Найти дробь от числа — умножай. Сколько будет 3/5 от 40? → 40 · 3/5 = 120/5 = 24.

Найти число по его дроби — дели. 3/5 числа равны 24. Какое число? → 24 : 3/5 = 24 · 5/3 = 120/3 = 40.

Как не перепутать. Задай вопрос: искомое больше или меньше известного? Часть меньше целого — значит, при поиске части умножаем на правильную дробь (результат уменьшается), при поиске целого делим (результат растёт). Та же логика лежит в основе процентов, потому что процент — это дробь со знаменателем 100: задачи на проценты.

Перевод в десятичную дробь и проценты

Дробная черта — деление, поэтому перевод в десятичную это просто деление числителя на знаменатель:

• 3/4 = 3 : 4 = 0,75 = 75 %
• 5/8 = 5 : 8 = 0,625 = 62,5 %
• 7/40 = 7 : 40 = 0,175 = 17,5 %
• 1/3 = 1 : 3 = 0,333… — бесконечная, точной десятичной записи нет

Есть простое правило, какие дроби переводятся в конечную десятичную: после сокращения знаменатель должен раскладываться только на двойки и пятёрки. У 7/40 знаменатель 40 = 2 · 2 · 2 · 5 — конечная. У 5/12 знаменатель 12 = 2 · 2 · 3, тройка мешает — дробь бесконечная периодическая.

Второй способ, без деления в столбик: домножить дробь до знаменателя 10, 100 или 1000. 7/40 = (7 · 25)/(40 · 25) = 175/1000 = 0,175. В проценты — умножением на 100: 0,175 · 100 = 17,5 %.

Порядок действий в примерах с дробями

Правила те же, что и с обычными числами: сначала скобки, потом умножение и деление слева направо, потом сложение и вычитание.

Пример 1. 1/2 + 2/3 · 3/8. Шаг 1. Сначала умножение: 2/3 · 3/8 = 6/24 = 1/4. Шаг 2. Теперь сложение: 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4. Типичная ошибка — сложить 1/2 + 2/3 первым действием: получится 7/6 · 3/8 = 21/48 = 7/16, неверный ответ.

Пример 2. (3/4 − 1/6) : 7/12. Шаг 1. Скобка: НОК(4, 6) = 12 → 9/12 − 2/12 = 7/12. Шаг 2. Деление: 7/12 : 7/12 = 7/12 · 12/7 = 1.

Ответ: 1. Красивый ответ здесь не совпадение: числа подобраны так, что делимое и делитель равны, а любое число, делённое само на себя, даёт единицу.

Шпаргалка: что делать в каждом действии

Проверь первую строку: НОК(6, 4) = 12, 5/6 = 10/12, 3/4 = 9/12, сумма 19/12 = 1 7/12. Прикидка: 5/6 почти единица, 3/4 — три четверти, сумма должна быть чуть больше полутора ✓.

Типичные ошибки

• Складывать числители и знаменатели. 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Проверяй прикидкой: результат обязан быть больше каждого слагаемого.
• Приводить к общему знаменателю при умножении. Не ошибка по существу, но лишняя работа: ответ придётся сокращать до того же результата.
• Сокращать слагаемые. Сокращают только множители: в (2 + 3)/(2 + 5) двойки не сокращаются.
• При делении переворачивать первую дробь. Переворачивается делитель, то есть вторая.
• Умножать смешанные числа по частям. 2 1/3 · 1 1/2 — только через 7/3 · 3/2.
• Забывать «занять единицу» при вычитании смешанных. 5 1/6 − 2 5/6 требует превратить 5 1/6 в 4 7/6.
• Не сокращать ответ. 12/72 — это 1/6, и в чистовике должно стоять 1/6.
• Терять целую часть. После действий с неправильными дробями не забудь выделить целую часть, если этого требует условие.

Частые вопросы

Как решать дроби с разными знаменателями?

Для сложения и вычитания приведи их к общему знаменателю: найди НОК знаменателей, домножь каждую дробь на свой дополнительный множитель, потом складывай или вычитай числители. Для умножения и деления приводить ничего не нужно — там знаменатели просто перемножаются. Это и есть главное отличие двух пар действий.

Как сократить дробь до конца?

Найди наибольший общий делитель числителя и знаменателя и раздели на него оба. Если НОД искать сложно, сокращай по шагам: сначала на 2, потом на 3, потом на 5 — пока сокращать станет нечего. Дробь сокращена до конца, когда у числителя и знаменателя нет общих делителей, кроме единицы.

Почему при делении дробей вторую переворачивают?

Потому что деление — это вопрос «сколько раз делитель помещается в делимом». В одной единице содержится 4/3 от 3/4, поэтому деление на 3/4 равносильно умножению на 4/3. Формально: у каждой дроби есть обратная, произведение которых равно 1, и деление заменяется умножением на обратную.

Как перевести дробь в проценты?

Раздели числитель на знаменатель и умножь результат на 100. Например, 5/8 = 0,625, значит 62,5 %. Другой путь — домножить дробь до знаменателя 100: 3/4 = 75/100 = 75 %. Оба способа дают одно и то же, второй быстрее, когда знаменатель — делитель ста.

Как сравнить две дроби быстро?

Умножь крест-накрест: числитель первой на знаменатель второй и числитель второй на знаменатель первой. Больше та дробь, у которой получилось большее произведение: 5 · 11 = 55 против 7 · 8 = 56, значит 5/8 < 7/11. Способ работает для положительных дробей и заменяет приведение к общему знаменателю.

Что делать со смешанными числами в примерах?

В сложении и вычитании можно работать по частям: отдельно целые, отдельно дробные, с «займом» единицы при нехватке. В умножении и делении обязательно переводи смешанное число в неправильную дробь — иначе ответ будет неверным. Если сомневаешься, переводи в неправильные всегда: это чуть длиннее, но безопаснее.

Что дальше

• Как решать текстовые задачи: схема, таблица, уравнение — где дроби встречаются в условиях чаще всего.
• Задачи на проценты: разбор 10 типовых — проценты это дроби со знаменателем 100.
• Разбор: математика 6 класс — тема дробей в контексте всего курса.
• Степени и корни: разбор — дробные показатели после этой статьи станут понятнее.
• Вероятность: разбор — ответ там почти всегда дробь.
• Не сходится конкретный пример — покажи свой ход в Razbery, там разберут, на каком шаге потерялось действие.