Как решать текстовые задачи: схема, таблица, уравнение

В текстовой задаче нет ничего сложного до того момента, пока не надо превратить слова в математику. «В первой коробке в три раза больше, чем во второй» — это ясно по-русски и абсолютно непонятно, что с этим писать в тетради. Дальше начинается угадайка: сложить? умножить? разделить? — и «решение» превращается в перебор действий, пока ответ не станет похож на красивое число.

Угадайка не нужна. Любая текстовая задача — от пятого класса до второй части ОГЭ — решается одной и той же цепочкой: величины → схема или таблица → выражения через x → уравнение → проверка по условию. Меняются только сюжет и формула, которая связывает величины.

Ниже — этот алгоритм по шагам, словарь перевода русских фраз в математические, семь полностью разобранных задач разных типов и разбор того, где решение чаще всего ломается.

Алгоритм из шести шагов

1. Выпиши величины и единицы. Не числа, а именно величины: «количество карандашей в первой коробке», «цена одной ручки», «время первого рабочего». Единицы приводи к одинаковым сразу: минуты к минутам, рубли к рублям.
2. Нарисуй схему или таблицу. Схема — для частей и движения, таблица — для «цена–количество–стоимость», «скорость–время–расстояние», «производительность–время–работа».
3. Обозначь за x одну величину. Обычно ту, через которую остальные выражаются проще всего (см. отдельный раздел ниже).
4. Вырази через x все остальные величины. Здесь и работает словарь перевода. Записывай выражения прямо в таблицу — так видно, что уже выражено, а что нет.
5. Найди в условии равенство. В любой задаче есть фраза, которая говорит: «вот эти две величины равны» или «их сумма равна такому-то числу». Это и есть уравнение.
6. Реши, проверь по условию и запиши ответ с единицами. Проверка идёт по тексту задачи, а не по уравнению — иначе она не поймает ошибку в самом уравнении.

Совет: шаги 1–2 нельзя пропускать даже в «лёгких» задачах. 80 % ошибок в текстовых задачах — это не арифметика, а неправильно составленное уравнение из-за того, что величины не были выписаны.

Словарь: как русские слова превращаются в математику

Две ловушки живут прямо здесь. Первая: «в 3 раза больше, чем во второй» — умножается вторая коробка, а не первая; всегда смотри, к чему относится «чем». Вторая: «на сколько больше» и «во сколько раз больше» — разные вопросы, и путаница между ними даёт правильные вычисления с неправильным ответом.

Как выбрать, что обозначить за x

Три рабочих правила, в порядке приоритета:

1. Бери меньшую величину. Если одна в три раза больше другой, обозначай меньшую: получишь x и 3x без дробей. Обозначишь большую — придёшь к x и x/3.
2. Бери то, через что легко выражается остальное. Иногда за x удобно взять не то, что спрашивают. Это нормально: найдёшь x, потом посчитаешь искомое.
3. Бери то, что спрашивают, если первые два правила не дают преимущества, — так меньше шансов забыть последний шаг.

Ошибка: найти x и записать его в ответ, не проверив, что именно спрашивали. Если за x взята цена ручки, а вопрос был про тетрадь, правильное x = 30 — это неверный ответ.

Задача 1. Части: «в несколько раз больше»

Условие. В двух коробках 48 карандашей, причём в первой в 3 раза больше, чем во второй. Сколько карандашей в каждой коробке?

Шаг 1–2. Величины и схема. Есть две величины: карандаши в первой коробке и во второй. Схема: вторая коробка — один отрезок, первая — три таких же отрезка, всего четыре одинаковых отрезка = 48.

Шаг 3–4. Обозначаем. Меньшая величина — вторая коробка: x. Тогда первая — 3x.

Шаг 5. Уравнение. «Всего 48» → x + 3x = 48.

Шаг 6. Решение. 4x = 48, x = 12. Первая коробка: 3 · 12 = 36.

Проверка по условию. Всего: 12 + 36 = 48 ✓. Во сколько раз больше: 36 : 12 = 3 ✓.

Ответ: 12 карандашей во второй коробке, 36 — в первой.

Эту задачу пятый класс решает и без уравнения: 48 разделить на 4 части, одна часть — 12. Метод частей и метод уравнения — это одно и то же, просто во втором случае «часть» называется x.

Задача 2. Разность: «на сколько больше»

Условие. В классе 32 ученика, девочек на 4 больше, чем мальчиков. Сколько мальчиков в классе?

Обозначаем. Меньшая величина — мальчики: x. Девочки — x + 4.

Уравнение. x + (x + 4) = 32.

Решение. 2x + 4 = 32 → 2x = 28 → x = 14. Девочек: 14 + 4 = 18.

Проверка. 14 + 18 = 32 ✓, 18 − 14 = 4 ✓.

Ответ: 14 мальчиков.

Частая ошибка — записать x + 4 = 32, то есть перепутать «всего в классе» с «количеством девочек». Спасает шаг 1: если выписать все три величины (мальчики, девочки, всего), подмена становится видна.

Задача 3. Таблица «цена — количество — стоимость»

Условие. За 3 тетради и 2 ручки заплатили 210 рублей. Тетрадь дороже ручки на 20 рублей. Сколько стоит ручка?

Таблица. Здесь три величины на каждый товар, и таблица делает решение почти механическим.

Уравнение. Стоимости складываются: 3(x + 20) + 2x = 210.

Решение. Раскрываем скобки: 3x + 60 + 2x = 210 → 5x = 150 → x = 30. Тетрадь: 30 + 20 = 50.

Проверка по условию. Тетради: 3 · 50 = 150. Ручки: 2 · 30 = 60. Вместе: 150 + 60 = 210 ✓. Разница в цене: 50 − 30 = 20 ✓.

Ответ: ручка стоит 30 рублей.

Обрати внимание на скобки в 3(x + 20). Запись 3x + 20 означала бы «три тетради по цене ручки плюс 20 рублей» — другая задача. Потерянные скобки — вторая по частоте причина неверного уравнения после неправильно выбранного x.

Задача 4. Проценты внутри текстовой задачи

Условие. В библиотеке 240 книг, 35 % из них — учебники, остальные — художественная литература. На сколько художественных книг больше, чем учебников?

Решение по шагам. Шаг 1. Учебники: 240 · 0,35 = 84 книги. Шаг 2. Художественные — это остаток: 240 − 84 = 156 книг. Шаг 3. Вопрос «на сколько больше» — это разность: 156 − 84 = 72.

Проверка. 84 + 156 = 240 ✓. Доля художественных: 156 : 240 = 0,65 = 65 %, и 35 % + 65 % = 100 % ✓.

Ответ: на 72 книги больше.

Второй способ, короче: художественных 100 % − 35 % = 65 %, разница между ними 65 % − 35 % = 30 % от всех книг, то есть 240 · 0,3 = 72. Оба пути законны; полный набор приёмов темы — в статье задачи на проценты.

Задача 5. Совместная работа

Условие. Первый рабочий выполняет заказ за 6 часов, второй — за 12. За сколько часов они выполнят заказ, работая вместе?

Ключевая идея. Складывать часы нельзя — 6 + 12 = 18 не имеет смысла, вместе всегда быстрее, чем поодиночке. Складывают производительности: сколько работы человек делает за час. Всю работу принимаем за 1.

Решение. 1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4 работы в час. Значит, вся работа займёт t = 1 : 1/4 = 4 часа.

Проверка по условию. За 4 часа первый сделает 4 · 1/6 = 2/3 работы, второй — 4 · 1/12 = 1/3. Вместе: 2/3 + 1/3 = 1, то есть весь заказ ✓.

Ответ: 4 часа.

Прикидка, которая ловит ошибку сразу: вместе они справятся быстрее, чем более быстрый из них поодиночке, то есть ответ обязан быть меньше 6 часов. Ответ «18 часов» или «9 часов» отбрасывается, не считая. Если действия с дробями здесь тормозят, стоит закрыть базу: дроби — разбор всех действий.

Задача 6. Задача на возраст: x в обеих частях

Условие. Отцу 40 лет, сыну 10. Через сколько лет отец будет ровно в два раза старше сына?

Ключевая идея. Проходит одинаковое число лет для обоих — это и есть x. Оба возраста растут на x.

Уравнение. «Отец вдвое старше сына» → 40 + x = 2(10 + x).

Решение. 40 + x = 20 + 2x → 40 − 20 = 2x − x → x = 20.

Проверка по условию. Через 20 лет отцу 40 + 20 = 60, сыну 10 + 20 = 30. Вдвое ли старше: 60 = 2 · 30 ✓.

Ответ: через 20 лет.

Здесь ломаются на попытке написать 40 + x = 2 · 10 + x, то есть удвоить только сегодняшний возраст сына. Таблица с колонкой «через x лет» не даёт этой ошибке случиться: сначала заполняешь колонку, потом составляешь равенство.

Задача 7. Дроби и остаток

Условие. Турист прошёл в первый день 2/5 всего маршрута, во второй — треть оставшегося пути, после чего ему осталось пройти 24 км. Какова длина маршрута?

Обозначаем. Весь маршрут — S км.

Решение по шагам. Шаг 1. Первый день: 2S/5. Шаг 2. Остаток после первого дня: S − 2S/5 = 3S/5. Это ключевой момент: «оставшегося пути» — это 3S/5, а не S. Шаг 3. Второй день — треть остатка: (1/3) · 3S/5 = S/5. Шаг 4. Пройдено всего: 2S/5 + S/5 = 3S/5. Осталось: S − 3S/5 = 2S/5. Шаг 5. Уравнение: 2S/5 = 24 → S = 24 · 5 / 2 = 60.

Проверка по условию. Маршрут 60 км. Первый день: 60 · 2/5 = 24 км. Остаток: 60 − 24 = 36 км. Второй день: 36 : 3 = 12 км. Осталось: 36 − 12 = 24 км ✓ — совпало с условием.

Ответ: 60 км.

Главная ловушка задачи — слово «оставшегося». Если посчитать треть от всего маршрута (S/3), получится 2S/5 + S/3 = 11S/15, остаток 4S/15 = 24 и ответ 90 км — аккуратно посчитанная неправда. Поэтому в шаге 1 алгоритма и требуется выписывать величины: «остаток после первого дня» — отдельная величина, а не синоним маршрута.

Проверка: по условию, а не по уравнению

Почти все проверяют так: подставляют найденный корень в своё уравнение и радуются, что сходится. Такая проверка ловит только арифметику. Если уравнение составлено неверно, корень подойдёт к нему идеально — и ответ всё равно будет неправильным.

Правильная проверка — три вопроса к тексту задачи:

1. Подставь ответ в условие словами. «Маршрут 60 км, в первый день прошёл 2/5 — это 24 км…» — и пройди условие до конца.
2. Сверь с вопросом. Спрашивали длину маршрута — в ответе длина маршрута, а не пройденное расстояние.
3. Проверь правдоподобие. Отрицательное количество учеников, скорость пешехода 200 км/ч, цена со скидкой выше исходной — сигнал, что где-то потерян знак или перепутано действие.

Оформление решения тоже влияет на балл: за верный ответ без пояснений на ОГЭ снимают. Как оформлять — в статье оформление решения.

Типы задач и что их связывает

Отдельные типы разобраны подробно: задачи на движение, задачи на проценты, растворы и сплавы, а вся вторая часть ОГЭ — в статье текстовые задачи ОГЭ.

Типичные ошибки

• Начинать с действий, а не с величин. «Тут, наверное, надо умножить» — это угадывание. Сначала выпиши, что за величины в задаче.
• Обозначать за x большую величину. Появляются дроби там, где их могло не быть.
• Терять скобки. 3(x + 20) и 3x + 20 — разные задачи.
• Складывать время в задачах на работу. Складываются производительности, а не часы.
• Игнорировать слово «оставшийся». Доля берётся от остатка, а не от целого.
• Путать «на сколько» и «во сколько раз». Первое — вычитание, второе — деление.
• Не переводить единицы. 40 минут и 2 часа в одном уравнении без перевода дают ответ-мусор.
• Записывать в ответ x, а не то, что спрашивали. Дописывай к решению строку «Вопрос: …» и сверяйся с ней перед ответом.

Частые вопросы

Как научиться решать текстовые задачи с нуля?

Возьми алгоритм из шести шагов и прогони по нему пять простых задач подряд, обязательно расписывая все шаги письменно — даже те, что кажутся очевидными. Цель первых задач не в ответе, а в том, чтобы схема «величины → таблица → x → уравнение → проверка» стала автоматической. После этого сложные задачи отличаются только формулой-связкой.

Что делать, если не понимаю, что взять за x?

Возьми самую маленькую величину из тех, что связаны между собой, и попробуй выразить через неё остальные. Если получаются дроби и выражения становятся громоздкими — начни заново с другой величины, это нормальная часть работы. Иногда за x удобнее взять не то, что спрашивают: тогда после нахождения x останется одно дополнительное действие.

Почему в задачах на совместную работу нельзя складывать время?

Потому что время — не аддитивная величина в этом смысле: два человека, работая вместе, тратят меньше времени, а не больше. Складывать нужно производительности — доли работы за единицу времени. Если один делает 1/6 работы в час, а второй 1/12, вместе они делают 1/4 в час, и вся работа занимает 4 часа.

Как проверить текстовую задачу правильно?

Подставляй ответ не в уравнение, а в текст условия и проходи его по предложениям. Проверка по уравнению не поймает главную ошибку — неправильно составленное уравнение. Дополнительно сверь ответ с вопросом задачи и оцени правдоподобие: количество людей не бывает дробным, цена со скидкой не бывает выше исходной.

Обязательно ли решать текстовые задачи уравнением?

Нет. Задачи на части в 5–6 классах быстрее решаются по действиям, и это полноценное решение. Уравнение выигрывает, когда неизвестное входит в условие несколько раз или встречается в обеих частях равенства — как в задаче про возраст. Выбирай по ситуации, но схему величин рисуй в обоих случаях.

Сколько задач нужно прорешать, чтобы «пошло»?

Обычно достаточно 10–15 задач, если после каждой ты записываешь не только ответ, но и одну строчку: какая связка использовалась и что было взято за x. Именно эта строчка формирует узнавание типа. Решение сорока задач без разбора даёт заметно меньше, чем пятнадцати с разбором.

Что дальше

• Как разобрать задачу по математике: метод 4 вопросов — что делать, когда условие вообще не читается.
• Задачи на движение: разбор с таблицей — самый частый тип с готовой таблицей.
• Задачи на проценты: 10 типовых — база для скидок, наценок и растворов.
• Текстовые задачи ОГЭ: разбор всех типов — задание 21 целиком.
• Дроби: разбор всех действий — если решение спотыкается не о логику, а об арифметику.
• Застрял на конкретной задаче — покажи условие и свой ход в Razbery, там объяснят логику, а не выдадут ответ.