Математика 5 класс: дроби и разбор типовых задач

До пятого класса математика была понятной: сложил, вычел, умножил столбиком. А потом появились дроби. Числа с чертой, которые надо «приводить к общему знаменателю», «сокращать», «переводить в неправильные». Половина класса решает механически и путается, вторая половина списывает.

Дроби — тема, на которой держится вся дальнейшая математика: проценты в 6 классе, алгебраические дроби в 8-м, задачи ОГЭ. Если сейчас их понять, а не заучить, дальше будет проще.

Ниже — объяснение с самого начала: что такое дробь, почему нельзя складывать знаменатели, как работать со смешанными числами и решать задачи «на часть от числа». И восемь задач, разобранных так, как это делают на Razbery: с объяснением каждого шага.

Что такое дробь

Дробь — это число, которое показывает, сколько частей взяли из целого, разделённого на равные куски. Пицца разрезана на 8 кусков, ты съел 3 — ты съел 3/8 пиццы.

• Знаменатель (внизу) — на сколько частей разделили целое. Показывает, какого размера кусок.
• Числитель (вверху) — сколько таких кусков взяли.

Запомнить, где что: знаменатель — знак, на сколько делим, он внизу как фундамент. Числитель — число кусков сверху.

Дробь, у которой числитель меньше знаменателя, — правильная (меньше 1). Если числитель больше или равен — неправильная (1 или больше).

Сравнение дробей

Правило 1: одинаковые знаменатели — больше та дробь, у которой числитель больше. 5/8 > 3/8: куски одинаковые, взяли больше.

Правило 2: одинаковые числители — больше та, у которой знаменатель меньше. 5/7 > 5/9: пиццу на 7 кусков резали крупнее, чем на 9, а взяли по 5 кусков в обоих случаях.

Правило 3: всё разное — приводи к общему знаменателю (об этом ниже).

Ошибка: думать, что 1/9 больше 1/3, «потому что 9 больше 3». Чем на больше частей делишь, тем меньше каждая часть. Одна девятая торта — тонкий ломтик, одна третья — здоровенный кусок.

Сокращение и приведение к общему знаменателю

Главное свойство дроби: если числитель и знаменатель умножить или разделить на одно и то же число, дробь не изменится. 1/2 = 2/4 = 3/6 = 50/100. Половина пиццы — это и 2 куска из 4, и 4 из 8.

Сокращение — деление числителя и знаменателя на общий делитель: 6/8 = 3/4 (разделили на 2), 15/25 = 3/5 (разделили на 5).

Приведение к общему знаменателю — умножение, чтобы у двух дробей знаменатели стали одинаковыми. Общий знаменатель — это число, которое делится на оба старых. Проще всего брать наименьшее общее кратное (НОК).

Задача 1. Сложение с одинаковыми знаменателями

Реши: 3/8 + 1/8.

Знаменатели одинаковые — складываем числители, знаменатель оставляем: (3 + 1) / 8 = 4/8. Сокращаем на 4: 1/2.

Ответ: 1/2.

Смысл: 3 куска пиццы плюс 1 кусок — 4 куска из восьми, то есть половина. Знаменатель не складывается: пиццу не резали заново.

Задача 2. Сложение с разными знаменателями

Реши: 3/8 + 1/4.

Шаг 1. Знаменатели 8 и 4. Общий — 8 (делится на 4).

Шаг 2. 1/4 домножаем на 2 сверху и снизу: 2/8. Первая дробь уже с восьмёркой.

Шаг 3. 3/8 + 2/8 = 5/8.

Ответ: 5/8.

Задача 3. Вычитание с разными знаменателями

Реши: 5/6 − 1/4.

Шаг 1. НОК(6, 4) = 12.

Шаг 2. Дополнительные множители: для 5/6 — 12 : 6 = 2, получаем 10/12. Для 1/4 — 12 : 4 = 3, получаем 3/12.

Шаг 3. 10/12 − 3/12 = 7/12.

Шаг 4. Сократить нельзя: 7 и 12 общих делителей не имеют.

Ответ: 7/12.

Совет: дополнительный множитель — это «сколько раз старый знаменатель влезает в новый». Пиши его маленькой цифрой над дробью, как в тетради — так меньше ошибок.

Смешанные числа

Смешанное число — целая часть плюс дробная: 2 3/5 (две целых три пятых) — это 2 + 3/5.

Из неправильной дроби в смешанное число: делим числитель на знаменатель с остатком. 17/5: 17 : 5 = 3 (остаток 2), значит 17/5 = 3 2/5.

Из смешанного в неправильную дробь: целую часть умножаем на знаменатель, прибавляем числитель. 3 2/5 = (3 · 5 + 2) / 5 = 17/5.

Задача 4. Сложение смешанных чисел

Реши: 2 3/5 + 1 4/5.

Шаг 1. Складываем целые: 2 + 1 = 3. Складываем дроби: 3/5 + 4/5 = 7/5.

Шаг 2. Получилось 3 7/5. Но 7/5 — неправильная дробь, это 1 2/5. Значит 3 + 1 2/5 = 4 2/5.

Ответ: 4 2/5.

Задача 5. Вычитание с «занятием» у целой части

Реши: 4 1/3 − 1 2/3.

Проблема: из 1/3 нельзя вычесть 2/3 — не хватает. Занимаем единицу у целой части, как при вычитании столбиком.

Шаг 1. 4 1/3 = 3 + 1 + 1/3 = 3 + 3/3 + 1/3 = 3 4/3.

Шаг 2. 3 4/3 − 1 2/3: целые 3 − 1 = 2, дроби 4/3 − 2/3 = 2/3.

Ответ: 2 2/3.

Проверка: 2 2/3 + 1 2/3 = 3 4/3 = 4 1/3 ✓.

Задачи на часть от числа

Два типа задач, которые постоянно путают:

Как не перепутать: если известно целое (всё), ищем кусок — целое делим. Если известен кусок — ищем всё, кусок сначала делим на числитель (узнаём одну долю), потом умножаем на знаменатель.

Задача 6. Найти дробь от числа

Условие: в книге 240 страниц. Маша прочитала 3/8 книги. Сколько страниц прочитала и сколько осталось?

Шаг 1. Одна восьмая книги: 240 : 8 = 30 страниц.

Шаг 2. Три восьмых: 30 · 3 = 90 страниц прочитано.

Шаг 3. Осталось: 240 − 90 = 150 страниц.

Проверка через дроби: осталось 1 − 3/8 = 5/8 книги, 240 : 8 · 5 = 150 ✓.

Ответ: прочитала 90, осталось 150.

Задача 7. Найти число по его дроби

Условие: Петя потратил 40 рублей, и это 2/5 всех его денег. Сколько денег было у Пети?

Шаг 1. 40 рублей — это две пятых. Одна пятая: 40 : 2 = 20 рублей.

Шаг 2. Всего пять пятых: 20 · 5 = 100 рублей.

Проверка: 2/5 от 100 = 100 : 5 · 2 = 40 ✓.

Ответ: 100 рублей.

Пример: Лёша в этой задаче посчитал 40 : 5 · 2 = 16 — применил правило «дробь от числа» к задаче «число по дроби». Получилось, что у Пети было 16 рублей, а потратил он 40. Если бы Лёша проверил ответ на здравый смысл (нельзя потратить больше, чем было), ошибку бы поймал сразу.

Задача 8. Сравнить дроби с разными знаменателями

Условие: что больше: 5/7 или 7/10?

Шаг 1. Приводим к общему знаменателю. НОК(7, 10) = 70.

Шаг 2. 5/7 = 50/70 (множитель 10), 7/10 = 49/70 (множитель 7).

Шаг 3. 50/70 > 49/70, значит 5/7 > 7/10.

Ответ: 5/7 больше.

Разница крошечная — на глаз не определить. Именно поэтому нужен общий знаменатель.

Как решать задачу на дроби: план

1. Прочитай условие два раза. Выпиши, что дано и что найти.
2. Определи тип: дробь от числа (дано целое) или число по дроби (дан кусок).
3. Найди одну долю: раздели на знаменатель (если дано целое) или на числитель (если дан кусок).
4. Умножь одну долю на нужное количество долей.
5. Проверь ответ на здравый смысл: часть меньше целого, остаток не отрицательный.
6. Запиши ответ с единицами измерения (страниц, рублей, км).

Типичные ошибки

• Складывать знаменатели. 1/2 + 1/3 ≠ 2/5. Знаменатель — размер куска, он не меняется от сложения. Правильно: 3/6 + 2/6 = 5/6.
• Общий знаменатель всегда перемножением. Для 6 и 9 берут 54 вместо 18. Работать будет, но числа огромные, ошибок больше, потом всё равно сокращать.
• Забыть дополнительный множитель для числителя. Домножили знаменатель, а числитель оставили. Умножать нужно оба.
• Не сокращать ответ. 4/8 в ответе — это минус балл: правильно 1/2.
• Оставлять неправильную дробь в смешанном числе. 3 7/5 надо превратить в 4 2/5.
• Путать «дробь от числа» и «число по дроби». Проверяй по смыслу: целое всегда больше своей части.
• Сравнивать дроби «по большим числам». 1/9 меньше 1/3, хотя 9 больше 3.

Частые вопросы

Как складывать дроби с разными знаменателями?

Найди общий знаменатель (лучше наименьший), домножь числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, сложи числители, знаменатель оставь. 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8. В конце сократи, если возможно.

Как найти дробь от числа?

Раздели число на знаменатель, результат умножь на числитель. 3/8 от 240: 240 : 8 · 3 = 90. Деление на знаменатель даёт размер одной доли, умножение на числитель — сколько долей нужно.

Как найти число по его дроби?

Раздели известную часть на числитель, результат умножь на знаменатель. Если 40 рублей — это 2/5 денег, то всего 40 : 2 · 5 = 100. Это обратная задача к «дробь от числа».

Как перевести неправильную дробь в смешанное число?

Раздели числитель на знаменатель с остатком. Частное — целая часть, остаток — новый числитель, знаменатель прежний. 17/5: 17 делим на 5, получаем 3 и остаток 2, ответ 3 2/5.

Как сравнить дроби с разными знаменателями?

Приведи к общему знаменателю и сравни числители. 5/7 и 7/10: общий знаменатель 70, получаем 50/70 и 49/70, значит 5/7 больше. Если числители одинаковые, можно без приведения: больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Что дальше

• Математика 6 класс: отрицательные числа и пропорции — следующая ступень.
• Разбор задач на проценты — проценты это те же дроби со знаменателем 100.
• Как понять математику — если кажется, что «это не моё».
• Как делать домашку по математике — порядок работы, чтобы не сидеть до ночи.
• Не сходится задача из учебника? Задай вопрос на Razbery — там разбирают решение по шагам, а не просто пишут ответ.