Задачи на проценты: разбор 10 типовых с объяснением

Проценты — единственная тема школьной математики, которая реально пригодится каждому: скидки, кредиты, ЕГЭ, зарплата. И при этом именно на процентах ошибаются и шестиклассники, и выпускники, и взрослые в магазине. Причина одна: люди пытаются запомнить «типы задач», а не одно правило, которое лежит под всеми типами.

Правило звучит так: процент — это дробь со знаменателем 100, и «от чего» считается процент — важнее, чем сам процент. Ниже — десять задач от простейших до тех, что дают на ОГЭ, разобранных полностью. После них ты увидишь, что все десять — одна задача в разных одеждах.

Три базовых действия с процентами

Все задачи на проценты сводятся к трём действиям. Запомни их — и «типы» не понадобятся.

Главный приём — переводить проценты в десятичную дробь сразу: 15 % = 0,15, 120 % = 1,2, 2,5 % = 0,025. После этого проценты становятся обычным умножением и делением.

Задача 1. Процент от числа

Условие. В классе 30 учеников, 40 % из них — мальчики. Сколько мальчиков?

Решение. 40 % = 0,4. Мальчиков: 30 · 0,4 = 12.

Проверка. 12 из 30 — это 12 / 30 = 0,4 = 40 %. Верно.

Ответ: 12 мальчиков.

Задача 2. Число по проценту

Условие. Ученик прочитал 36 страниц, что составляет 12 % книги. Сколько страниц в книге?

Решение. 36 страниц — это 0,12 книги. Значит, книга: 36 / 0,12 = 300 страниц.

Почему деление? Потому что книга · 0,12 = 36, а неизвестный множитель находят делением произведения на известный множитель.

Проверка. 300 · 0,12 = 36. Верно.

Ответ: 300 страниц.

Ошибка: умножить 36 · 0,12 и получить 4,32 «страницы». Прикидка спасает: 36 страниц — маленькая часть книги, значит, книга должна быть больше 36. Если ответ меньше — действие перепутано.

Задача 3. Сколько процентов

Условие. Из 45 задач контрольной ученик решил 18. Сколько процентов задач он решил?

Решение. Доля решённых: 18 / 45 = 0,4. В процентах: 0,4 · 100 = 40 %.

Ответ: 40 %.

Здесь важно, что делят на целое — на 45, а не на 18. «Сколько процентов А от В» — это всегда A / B.

Задача 4. Наценка

Условие. Цена куртки 3500 рублей. Магазин поднял цену на 12 %. Сколько стоит куртка теперь?

Решение в один шаг. Новая цена — это 100 % + 12 % = 112 % старой: 3500 · 1,12 = 3920 рублей.

Решение в два шага (если удобнее): наценка 3500 · 0,12 = 420 рублей, новая цена 3500 + 420 = 3920.

Ответ: 3920 рублей.

Приём «умножить на 1,12» экономит действие и не даёт перепутать, что к чему прибавлять. На ОГЭ он же спасает время.

Задача 5. Скидка

Условие. Кроссовки стоили 4800 рублей, на распродаже скидка 25 %. Сколько они стоят со скидкой?

Решение. Со скидкой остаётся 100 % − 25 % = 75 %: 4800 · 0,75 = 3600 рублей.

Проверка. Скидка 4800 · 0,25 = 1200; 4800 − 1200 = 3600. Сходится.

Ответ: 3600 рублей.

Задача 6. Обратная: цена до скидки

Условие. После скидки 15 % рюкзак стоит 1700 рублей. Сколько он стоил до скидки?

Решение. 1700 — это 85 % старой цены (100 − 15). Старая цена: 1700 / 0,85 = 2000 рублей.

Проверка. 2000 · 0,85 = 1700. Верно.

Ответ: 2000 рублей.

Самая частая ошибка здесь — посчитать «15 % от 1700» и прибавить: 1700 + 255 = 1955. Неверно, потому что 15 % брались от старой цены (2000), а не от новой. Всегда спрашивай: «от чего считался процент?»

Задача 7. Два изменения подряд

Условие. Цену товара повысили на 25 %, а затем снизили на 20 %. Как изменилась цена по сравнению с начальной?

Решение. Пусть начальная цена x. После повышения: 1,25x. После снижения — 20 % от новой цены: 1,25x · 0,8 = 1,0x = x.

Ответ: цена не изменилась.

Второй вариант той же задачи: повысили на 10 % два раза подряд. x · 1,1 · 1,1 = 1,21x — рост на 21 %, а не на 20 %. Проценты не складываются, а перемножаются, потому что второй процент берётся от уже изменённой величины.

Пример: Таня, 9 класс, была уверена, что «+25 % и −20 %» дадут «+5 %». Посчитала на цене 100: 100 → 125 → 100. Удивилась. С тех пор все задачи на два изменения проверяет на числе 100 — и это отличная привычка.

Задача 8. На сколько процентов изменилось

Условие. Зарплата выросла с 80 000 до 100 000 рублей. На сколько процентов она выросла? А если бы упала со 100 000 до 80 000 — на сколько процентов уменьшилась?

Решение, рост. Изменение: 100 000 − 80 000 = 20 000. Процент считается от начального значения: 20 000 / 80 000 = 0,25 = 25 %.

Решение, падение. Изменение то же — 20 000, но начальное значение теперь 100 000: 20 000 / 100 000 = 0,2 = 20 %.

Ответ: выросла на 25 %; уменьшилась бы на 20 %.

Одно и то же изменение в 20 000 рублей — разные проценты, потому что разная база. Это ядро всей темы: процент всегда от чего-то, и это «что-то» — величина до изменения.

Задача 9. Раствор

Условие. В 300 г 10 %-го раствора соли добавили 100 г воды. Какой стала концентрация?

Решение. Шаг 1. Соли в исходном растворе: 300 · 0,1 = 30 г. Шаг 2. Воду добавили, соль не трогали — соли по-прежнему 30 г. Шаг 3. Масса нового раствора: 300 + 100 = 400 г. Шаг 4. Концентрация: 30 / 400 = 0,075 = 7,5 %.

Проверка. Разбавили — концентрация должна упасть. Было 10 %, стало 7,5 %. Логично.

Ответ: 7,5 %.

Все задачи на растворы и сплавы решаются через один вопрос: «сколько чистого вещества?» Оно не меняется при добавлении воды и складывается при смешивании двух растворов.

Задача 10. Вклад под проценты

Условие. Вкладчик положил 20 000 рублей под 10 % годовых. Проценты каждый год прибавляются к вкладу. Сколько будет на счёте через 2 года?

Решение. Каждый год сумма умножается на 1,1: Через год: 20 000 · 1,1 = 22 000. Через два: 22 000 · 1,1 = 24 200. Или сразу: 20 000 · 1,1² = 20 000 · 1,21 = 24 200.

Ответ: 24 200 рублей.

Обрати внимание: не 20 000 + 2 · 2000 = 24 000. Во второй год проценты начисляются на 22 000, а не на 20 000, и это даёт лишние 200 рублей. На больших сроках разница становится огромной — это и есть «сложные проценты».

Универсальная схема

Любая из десяти задач решается по четырём вопросам:

1. От чего берётся процент? Найди базу — величину «до». Это самый важный вопрос.
2. Переведи процент в дробь. p % → p / 100.
3. Что спрашивают: часть, целое или долю? Часть — умножь. Целое — раздели. Долю — раздели часть на целое.
4. Прикинь. Часть меньше целого, после скидки — меньше, после наценки — больше, после разбавления — слабее.

Если задача на несколько изменений — перемножай коэффициенты (1,25 · 0,8), а не складывай проценты. Если задача на растворы — сначала найди массу чистого вещества.

Совет: любую задачу, где не сказано начальное значение («цену повысили, потом снизили»), считай на числе 100. С ним проценты превращаются в те же числа, и ошибки видны сразу.

Типичные ошибки

• Перепутать умножение и деление. «Сколько будет 12 % от 300» — умножь; «300 — это 12 % чего» — раздели. Прикидка «больше или меньше» ловит ошибку.
• Считать процент не от той базы. Скидка 15 % — от старой цены, а не от новой. Рост на 25 % — от начального значения.
• Складывать проценты при двух изменениях. +25 % − 20 % ≠ +5 %. Перемножай коэффициенты.
• В растворах делить на массу воды. Знаменатель — масса всего раствора.
• Считать простые проценты вместо сложных. Если проценты «прибавляются к вкладу», каждый год база растёт.
• Забывать переводить ответ в проценты. 0,4 — это доля; ответ «40 %» требует умножения на 100.
• Округлять посередине. Считай точно до конца, округляй только ответ.

Частые вопросы

Как найти процент от числа?

Переведи процент в десятичную дробь (раздели на 100) и умножь на число: 15 % от 240 — это 240 · 0,15 = 36. Или через 1 %: 240 / 100 = 2,4, потом 2,4 · 15 = 36. Оба способа равнозначны, первый короче.

Как найти число, если известен его процент?

Раздели известную часть на процент в виде дроби: если 12 % числа равны 54, то число равно 54 / 0,12 = 450. Проверь умножением: 450 · 0,12 = 54. Ответ всегда больше части, если процент меньше 100.

Как решать задачи на скидки?

После скидки p % остаётся (100 − p) % цены — умножь цену на (100 − p) / 100. Скидка 25 % — умножь на 0,75. Обратная задача (цена до скидки) — раздели цену со скидкой на тот же коэффициент: 1700 / 0,85 = 2000.

Почему +20 % и −20 % не возвращают к исходной цене?

Потому что второй процент берётся от новой цены, которая больше исходной. 100 → +20 % → 120 → −20 % от 120 = 24 → 96. Итог на 4 % меньше начала. Проценты при последовательных изменениях перемножаются: 1,2 · 0,8 = 0,96.

Как решать задачи на проценты в ОГЭ?

В первой части ОГЭ задачи на проценты — это обычно наценка, скидка, «сколько процентов» и сложные проценты за два периода. Все они решаются переводом процента в дробь и одним умножением или делением. Обязательно прикидывай ответ: часть меньше целого, после скидки — меньше. Типичные ошибки первой части разобраны в статье ошибки ОГЭ по математике.

Что дальше

• Как разобрать задачу по математике: метод 4 вопросов
• Как решать текстовые задачи
• Текстовые задачи ОГЭ с разбором
• Дроби с разбором
• Не понял, «от чего процент», — покажи задачу и свой ход: Razbery