Математика 6 класс: отрицательные числа и пропорции с разбором

В шестом классе математика внезапно уходит «в минус». Появляются числа меньше нуля, и привычные правила ломаются: −3 − 5 почему-то даёт −8, а −3 · (−5) — плюс 15. Потом пропорции: «крест-накрест», прямая зависимость, обратная зависимость, и в задаче про рабочих всё считается наоборот.

Обе темы — фундамент для алгебры 7 класса. Уравнения, координатная плоскость, линейная функция — всё это требует уверенной работы с отрицательными числами. А пропорции — это проценты, масштаб, задачи на скорость и половина заданий ОГЭ по практической математике.

Ниже — объяснение обеих тем с нуля и девять задач с разбором каждого шага, так же подробно, как отвечают на Razbery.

Отрицательные числа: зачем они нужны

Отрицательные числа — это температура ниже нуля, долг на карте, этаж ниже первого, глубина под уровнем моря. Термометр — лучшая модель: числа выстроены на прямой, ноль посередине, справа (вверху) плюс, слева (внизу) минус.

Модуль числа — расстояние от нуля до числа, всегда неотрицательное: |−7| = 7, |7| = 7, |0| = 0. Модуль нужен, чтобы формулировать правила.

Противоположные числа — отличаются только знаком: 5 и −5. Их сумма равна нулю.

Правила знаков: таблица

Ключевая идея для сложения: представь термометр. −7 + 12 — было минус 7, потеплело на 12: прошли 7 до нуля, ещё 5 вверх — итого +5. −7 − 12 — было минус 7, похолодало ещё на 12 — стало −19.

Совет: «минус на минус даёт плюс» работает только для умножения и деления. При сложении −3 + (−4) — это −7, никакого плюса. Самая частая путаница в 6 классе.

Задача 1. Четыре действия с отрицательными числами

Реши: а) −7 + 12; б) −7 − 12; в) −3 · (−4); г) −15 : 3.

а) Знаки разные. Модули 7 и 12, разность 12 − 7 = 5. Знак большего модуля (12) — плюс. Ответ 5.

б) Заменяем вычитание сложением: −7 + (−12). Знаки одинаковые: складываем модули 7 + 12 = 19, ставим минус. Ответ −19.

в) Умножение, знаки одинаковые — результат положительный: 3 · 4 = 12. Ответ 12.

г) Деление, знаки разные — результат отрицательный: 15 : 3 = 5. Ответ −5.

Задача 2. Вычитание отрицательного числа

Реши: 2,5 − (−1,5).

Шаг 1. Минус перед скобкой с минусом внутри превращается в плюс: 2,5 + 1,5.

Шаг 2. 2,5 + 1,5 = 4.

Ответ: 4.

Смысл на термометре: было 2,5 градуса, «отняли холод» на 1,5 градуса — стало теплее.

Задача 3. Раскрытие скобок и уравнение

Реши: 3(x − 2) = −12.

Способ 1. Разделим обе части на 3: x − 2 = −4. Перенесём: x = −4 + 2 = −2.

Способ 2. Раскроем скобки: 3x − 6 = −12, 3x = −12 + 6 = −6, x = −6 : 3 = −2.

Проверка: 3 · (−2 − 2) = 3 · (−4) = −12 ✓.

Ответ: −2.

Ошибка: при переносе слагаемого через знак равно забыть сменить знак. 3x − 6 = −12 → 3x = −12 − 6 = −18 — неверно. Минус 6 слева превращается в плюс 6 справа.

Что такое пропорция

Пропорция — равенство двух отношений: a / b = c / d, читается «a относится к b, как c относится к d». Числа a и d — крайние члены, b и c — средние.

Основное свойство пропорции: произведение крайних равно произведению средних: a · d = b · c. Это и есть «крест-накрест».

Чтобы найти неизвестный член пропорции: перемножь два известных числа по диагонали и раздели на третье.

Задача 4. Решить пропорцию

Реши: x / 12 = 5 / 4.

Шаг 1. Крест-накрест: x · 4 = 12 · 5.

Шаг 2. 4x = 60, x = 60 : 4 = 15.

Проверка: 15 / 12 = 5 / 4? Сократим 15/12 на 3: 5/4 ✓.

Ответ: 15.

Прямая и обратная пропорциональность

Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Больше ручек — больше денег. Больше времени — больше пройденного пути.

Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении одной в несколько раз другая во столько же раз уменьшается. Больше рабочих — меньше дней. Больше скорость — меньше времени.

Как отличить: задай себе вопрос «если первое увеличить вдвое, второе вырастет или упадёт?». Выросло — прямая, упало — обратная.

Задача 5. Прямая пропорциональность

Условие: 6 ручек стоят 90 рублей. Сколько стоят 10 таких ручек?

Шаг 1. Больше ручек — больше денег, зависимость прямая.

Шаг 2. Пропорция: 6 / 10 = 90 / x (ручки относятся к ручкам, как рубли к рублям).

Шаг 3. Крест-накрест: 6x = 900, x = 150.

Проверка через одну ручку: 90 : 6 = 15 рублей, 15 · 10 = 150 ✓.

Ответ: 150 рублей.

Задача 6. Обратная пропорциональность

Условие: 4 рабочих выполняют работу за 12 дней. За сколько дней выполнят ту же работу 6 рабочих?

Шаг 1. Больше рабочих — меньше дней, зависимость обратная.

Шаг 2. При обратной зависимости одно отношение переворачивается: 4 / 6 = x / 12.

Шаг 3. 6x = 48, x = 8.

Проверка через «объём работы»: 4 рабочих × 12 дней = 48 человеко-дней. 48 : 6 = 8 дней ✓.

Ответ: 8 дней.

Пример: Кирилл записал пропорцию как для прямой зависимости: 4 / 6 = 12 / x, получил x = 18. Проверка здравым смыслом: рабочих стало больше, а дней — тоже больше? Так не бывает. Если ответ противоречит логике задачи — перепроверь тип зависимости.

Проценты через пропорцию

Процент — сотая часть числа. 15 % — это 15/100. Любая задача на проценты решается пропорцией, где всё число — это 100 %.

Задача 7. Найти процент от числа

Условие: в школе 240 учеников, 15 % из них — отличники. Сколько отличников?

Шаг 1. 240 — это 100 %, x — 15 %. Пропорция: 240 / x = 100 / 15.

Шаг 2. 100x = 3600, x = 36.

Способ без пропорции: 1 % — это 240 : 100 = 2,4. 15 % — 2,4 · 15 = 36 ✓.

Ответ: 36 отличников.

Масштаб

Масштаб 1 : 100 000 означает, что 1 см на карте — это 100 000 см на местности. Задачи решаются пропорцией или прямым умножением.

Задача 8. Расстояние по карте

Условие: масштаб карты 1 : 100 000. Расстояние между сёлами на карте 3,5 см. Найди расстояние на местности в километрах.

Шаг 1. 3,5 · 100 000 = 350 000 см.

Шаг 2. Переводим в километры: в 1 км — 100 000 см. 350 000 : 100 000 = 3,5 км.

Ответ: 3,5 км.

Удобно запомнить: при масштабе 1 : 100 000 сантиметры на карте превращаются в километры на местности напрямую.

Задача 9. Координатная прямая и модуль

Условие: найди расстояние между точками A(−4) и B(3) на координатной прямой.

Шаг 1. Расстояние — это модуль разности координат: |3 − (−4)| = |3 + 4| = 7.

Шаг 2. Проверка по рисунку: от −4 до 0 четыре единицы, от 0 до 3 — три. Итого 7 ✓.

Ответ: 7.

Алгоритм для задачи на пропорцию

1. Выпиши две величины, которые связаны (ручки — рубли, рабочие — дни).
2. Спроси: если первую увеличить, вторая вырастет (прямая) или упадёт (обратная)?
3. Запиши пропорцию: для прямой — отношения в одном порядке, для обратной — второе отношение перевёрнуто.
4. Реши крест-накрест.
5. Проверь ответ здравым смыслом: должно быть больше или меньше исходного?

Типичные ошибки

• «Минус на минус даёт плюс» при сложении. −3 + (−4) = −7, а не +7. Правило знаков — только для умножения и деления.
• −7 − 12 = −5. Вычитание положительного числа делает число ещё меньше: −19.
• Знак при переносе через равно. Слагаемое меняет знак, множитель — нет.
• Обратная пропорциональность записана как прямая. Ответ «больше рабочих — больше дней» должен насторожить.
• Крест-накрест в неправильном порядке. Перемножаются диагонали, а не строки.
• Проценты: путать «на 15 %» и «в 15 раз». Увеличить на 15 % — умножить на 1,15.
• Масштаб: забыть перевести сантиметры в километры. 350 000 см в ответе — это не ошибка вычислений, но ответ не по условию.

Частые вопросы

Как складывать отрицательные числа?

Если знаки одинаковые — сложи модули и поставь общий знак: −7 + (−5) = −12. Если разные — из большего модуля вычти меньший и поставь знак числа с большим модулем: −7 + 12 = 5, −12 + 7 = −5. Удобно представлять термометр: плюс — теплеет, минус — холодает.

Почему минус на минус даёт плюс?

Умножение на −1 — это «разворот» числа на противоположное. Развернуть дважды — вернуться обратно: −(−5) = 5. Поэтому (−3) · (−4) = разворот числа −12 = 12. Правило работает для умножения и деления, но не для сложения.

Как решать пропорцию с неизвестным?

Используй основное свойство: произведение крайних членов равно произведению средних. Перемножь два известных числа по диагонали и раздели на третье. Для x / 12 = 5 / 4: x = 12 · 5 : 4 = 15.

Как отличить прямую пропорциональность от обратной?

Мысленно увеличь первую величину в два раза. Если вторая тоже вырастет — прямая (ручки и цена). Если уменьшится — обратная (рабочие и дни, скорость и время). При обратной зависимости в пропорции одно из отношений записывается перевёрнутым.

Как найти процент от числа?

Раздели число на 100 — получишь 1 %, умножь на нужное количество процентов. 15 % от 240: 240 : 100 · 15 = 36. Или через пропорцию: 240 / x = 100 / 15.

Что дальше

• Математика 5 класс: дроби — если провисают дроби, пропорции будут даваться тяжело.
• Алгебра 7 класс с разбором — что ждёт в следующем году.
• Разбор задач на проценты — все типы задач на проценты с решениями.
• Разбор задач на движение — скорость, время, расстояние и та же обратная пропорциональность.
• Задача не решается? Спроси на Razbery — получишь разбор с объяснением, откуда что берётся.