Два поезда, один велосипедист, лодка против течения — и ты уже не понимаешь, кто куда едет и что складывать. Задачи на движение считаются «самыми страшными» текстовыми задачами, хотя формула в них одна: S = v · t. Страх берётся не из формулы, а из того, что в условии три объекта, три времени и три расстояния, и всё это держится в голове.
Решение — не держать в голове. Ниже — таблица, в которую укладывается любая задача на движение, пять задач разных типов (навстречу, вдогонку, по реке, средняя скорость, уравнение из ОГЭ), разобранных полностью, и ошибки, из-за которых ответ не сходится.
Одна формула и одна таблица
Формула: S = v · t. Из неё: v = S / t, t = S / v.
Таблица, которую нужно рисовать всегда, даже если задача кажется простой:
| Кто | v (скорость) | t (время) | S (расстояние) |
|---|---|---|---|
| Объект 1 | |||
| Объект 2 |
Заполняешь известное. В каждой строке две величины известны — третью считаешь по формуле. Если в строке известна одна — вводишь x. Условие, которое связывает строки («встретились», «догнал», «приехали одновременно»), даёт уравнение.
Четыре правила для разных типов:
| Тип | Ключевая идея |
|---|---|
| Навстречу | Скорость сближения — сумма скоростей: v₁ + v₂ |
| Вдогонку (в одну сторону) | Скорость сближения — разность: v₁ − v₂ |
| По реке | По течению v + vₜ, против течения v − vₜ, где vₜ — скорость течения |
| Средняя скорость | Весь путь разделить на всё время, не среднее арифметическое скоростей |
Задача 1. Движение навстречу
Условие. Из городов А и В, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Скорость первого 60 км/ч, второго 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся и на каком расстоянии от А?
Таблица.
| Кто | v | t | S |
|---|---|---|---|
| Первый (из А) | 60 | t | 60t |
| Второй (из В) | 90 | t | 90t |
Время одинаковое — выехали одновременно и встретились в один момент.
Связь. К моменту встречи вместе они проехали всё расстояние: 60t + 90t = 300.
Решение. 150t = 300, t = 2 ч. Расстояние от А — путь первого: 60 · 2 = 120 км.
Проверка. Второй проехал 90 · 2 = 180 км; 120 + 180 = 300. Сходится.
Ответ: через 2 ч; в 120 км от А.
Короткий путь: скорость сближения 60 + 90 = 150 км/ч, время 300 / 150 = 2 ч. Это та же самая логика, просто без x.
Задача 2. Движение вдогонку
Условие. Пешеход вышел из посёлка со скоростью 4 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через сколько времени велосипедист догонит пешехода и на каком расстоянии от посёлка?
Разбор. За 2 часа до выезда велосипедиста пешеход ушёл на 4 · 2 = 8 км. Это «фора». Велосипедист сокращает её со скоростью 12 − 4 = 8 км/ч — они едут в одну сторону, поэтому скорости вычитаются.
Время догона: 8 / 8 = 1 ч.
Расстояние от посёлка — путь велосипедиста: 12 · 1 = 12 км.
Проверка. Пешеход к этому моменту шёл 3 часа: 4 · 3 = 12 км. В той же точке. Верно.
Ответ: через 1 ч; в 12 км.
Ошибка: сложить скорости, как в задаче навстречу, и получить
8 / 16 = 0,5 ч. Складываются скорости только когда объекты движутся навстречу друг другу. В одну сторону — вычитаются.
Задача 3. Движение по реке
Условие. Собственная скорость лодки 15 км/ч, скорость течения 3 км/ч. Лодка прошла 36 км по течению и вернулась обратно. Сколько времени заняла вся поездка?
Скорости. По течению: 15 + 3 = 18 км/ч. Против: 15 − 3 = 12 км/ч.
Таблица.
| Участок | v | S | t = S / v |
|---|---|---|---|
| По течению | 18 | 36 | 36 / 18 = 2 ч |
| Против течения | 12 | 36 | 36 / 12 = 3 ч |
Всего: 2 + 3 = 5 ч.
Проверка здравым смыслом. Против течения медленнее — времени больше: 3 ч > 2 ч. Верно.
Ответ: 5 ч.
Заметь: туда и обратно заняло 5 ч, а не 72 / 15 = 4,8 ч, как получилось бы «без течения». Течение всегда увеличивает общее время поездки туда-обратно, потому что на медленном участке теряешь больше, чем выигрываешь на быстром.
Если в задаче собственная скорость неизвестна — обозначай её x, скорости будут x + 3 и x − 3, а уравнение составляется из времени. Пример такой задачи — в статье текстовые задачи ОГЭ.
Задача 4. Средняя скорость
Условие. Первую половину пути автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, вторую — 40 км/ч. Найдите среднюю скорость на всём пути.
Ловушка. Ответ «50 км/ч» — неверный. Средняя скорость — это весь путь, делённый на всё время, а не среднее скоростей.
Решение. Пусть весь путь 2S (чтобы половины были по S).
Время на первой половине: S / 60. На второй: S / 40.
Общее время: S / 60 + S / 40. Общий знаменатель 120: 2S / 120 + 3S / 120 = 5S / 120 = S / 24.
Средняя скорость: 2S / (S / 24) = 2S · 24 / S = 48 км/ч.
Проверка на числах. Пусть весь путь 240 км (по 120 на половину). Первая половина: 120 / 60 = 2 ч. Вторая: 120 / 40 = 3 ч. Всего 5 ч. Средняя: 240 / 5 = 48 км/ч. Сходится.
Ответ: 48 км/ч.
Средняя меньше 50, потому что на медленном участке автомобиль провёл больше времени (3 ч против 2 ч), и «медленная» скорость весит больше.
Совет: в задачах на среднюю скорость, где путь не дан, подставляй удобное число — такое, чтобы делилось на обе скорости. Для 60 и 40 удобно 240 или 120. Ответ от выбора не зависит.
Задача 5. Уравнение из ОГЭ
Условие. Из А в В, расстояние между которыми 120 км, выехал автобус. Через час из А в В выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. В В они прибыли одновременно. Найдите скорость автобуса.
Таблица. Скорость автобуса — x.
| Кто | v | S | t |
|---|---|---|---|
| Автобус | x | 120 | 120 / x |
| Автомобиль | x + 20 | 120 | 120 / (x + 20) |
Связь. Автобус выехал на час раньше и приехал в тот же момент — значит, ехал на час дольше: 120 / x − 120 / (x + 20) = 1.
Решение. Умножаем обе части на x(x + 20):
120(x + 20) − 120x = x(x + 20)
120x + 2400 − 120x = x² + 20x
x² + 20x − 2400 = 0
Дискриминант: D = 400 + 4 · 2400 = 400 + 9600 = 10 000, √D = 100.
x = (−20 ± 100) / 2 → x₁ = 40, x₂ = −60.
Отрицательная скорость не подходит. x = 40.
Проверка. Автобус: 120 / 40 = 3 ч. Автомобиль: 120 / 60 = 2 ч. Разница 1 ч. Верно.
Ответ: 40 км/ч.
Обрати внимание на знак в уравнении: «на час дольше» — это t(автобуса) − t(автомобиля) = 1, большее минус меньшее. Если перепутать, получится отрицательный дискриминант или отрицательный корень — сигнал вернуться к условию.
Алгоритм для любой задачи на движение
- Нарисуй схему. Точки А и В, стрелки направления, кто откуда.
- Заполни таблицу. Для каждого объекта — v, t, S. Неизвестное —
x. - Определи тип. Навстречу — скорости складываются. Вдогонку — вычитаются. Река — течение прибавляется или вычитается.
- Найди связь. Что общего: расстояние, время, «одновременно», «на час дольше». Это уравнение.
- Реши и проверь. Отрицательные корни отбрось, подставь в условие, сверь здравый смысл.
Пример: Егор, 8 класс, полгода «не умел» задачи на движение. Учитель заставил рисовать таблицу для каждой, даже самой простой. Через две недели Егор заметил, что уравнение появляется само — из строки, где стоит
x, и условия «одновременно». Задачи перестали быть страшными: они стали одинаковыми.
Типичные ошибки
- Не рисовать таблицу. Три объекта в голове — гарантированная путаница.
- Складывать скорости в задаче вдогонку. В одну сторону — вычитать.
- Забывать про фору. Если один вышел раньше, к моменту старта второго он уже прошёл
v · Δt. - Считать среднюю скорость как среднее арифметическое. Только весь путь на всё время.
- Путать «на час дольше» с «на час раньше». Кто выехал раньше при одновременном прибытии — тот ехал дольше.
- Оставлять отрицательный корень. Скорость и время не бывают отрицательными.
- Смешивать единицы. Минуты и часы, метры и километры — переводи до подстановки.
- Не проверять. Подстановка в условие занимает 30 секунд и ловит все ошибки выше.
Частые вопросы
Как решать задачи на движение навстречу?
Скорости складываются: два объекта сближаются со скоростью v₁ + v₂. Время до встречи — расстояние между ними, делённое на эту сумму. Место встречи — скорость одного объекта, умноженная на найденное время. Проверь: сумма путей обоих должна равняться исходному расстоянию.
Как решать задачи на движение по реке?
Скорость по течению — собственная скорость плюс скорость течения; против течения — минус. Если собственная скорость неизвестна, обозначь её x и запиши скорости как x + vₜ и x − vₜ. Уравнение обычно составляется из времени: «туда и обратно за 5 часов» — сумма двух дробей S / (x + vₜ) + S / (x − vₜ) = 5.
Почему средняя скорость не равна среднему арифметическому?
Потому что на медленном участке объект проводит больше времени, и эта скорость «весит» больше. Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время. Для двух равных половин пути со скоростями v₁ и v₂ она равна 2v₁v₂ / (v₁ + v₂) — всегда меньше среднего арифметического.
Как составить уравнение в задаче на движение?
Заполни таблицу «скорость — время — расстояние» для каждого объекта, обозначив неизвестное через x. Затем найди фразу в условии, которая связывает строки: «встретились» (сумма путей равна расстоянию), «одновременно» (времена равны), «на час дольше» (разность времён равна 1). Эта фраза и есть уравнение.
Что делать, если получилось два корня?
Проверь каждый по смыслу: скорость и время не бывают отрицательными, а скорость лодки должна быть больше скорости течения (иначе против течения она не поплывёт). Оставь только подходящие. Если оба подходят — оба и в ответ, но это редкость; обычно один явно лишний.
Что дальше
- Как решать текстовые задачи
- Текстовые задачи ОГЭ с разбором
- Разбор уравнений: линейные, квадратные, с параметром
- Как разобрать задачу по математике: метод 4 вопросов
- Не получается составить уравнение — покажи таблицу и спроси: Razbery