Текстовые задачи ОГЭ: разбор всех типов

Задание 21 — первая задача второй части ОГЭ по математике, и её пропускают чаще, чем любую другую «берущуюся». Не потому, что она сложная: уравнение там обычно квадратное. А потому, что непонятно, как из текста про лодку и течение сделать уравнение. Пока не видишь схему — задача выглядит как загадка. Как только видишь — это пять минут.

Схема одна на все типы: обозначить неизвестное → выразить остальные величины через него по формуле типа → найти в условии фразу, которая даёт равенство → решить → отобрать корни → ответить на вопрос. Разница между типами только в формуле и в том, где спрятано равенство.

В статье шесть задач — по одной на каждый тип задания 21: движение навстречу, движение вдогонку, движение по реке, совместная работа, проценты, сплавы. Каждая — с полным решением, оформленным так, чтобы получить 2 балла, и с проверкой.

Все типы задания 21 и их формулы

Первое, что делаешь с задачей, — определяешь тип по этой таблице. Второе — рисуешь табличку «объект / скорость (производительность, концентрация) / время (масса) / путь (работа, вещество)». Дальше — по схеме.

Задача 1. Движение навстречу

Условие: из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля со скоростями 60 км/ч и 90 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Решение:

При движении навстречу расстояние между объектами сокращается со скоростью, равной сумме скоростей: v = 60 + 90 = 150 км/ч.

Время до встречи: t = S / v = 300 / 150 = 2 ч.

Ответ: через 2 часа.

Проверка: за 2 ч первый проедет 60 · 2 = 120 км, второй 90 · 2 = 180 км; 120 + 180 = 300 — вся дистанция.

Здесь уравнение не понадобилось — это задача-разминка, чтобы увидеть принцип «скорости складываются». На ОГЭ такая логика бывает частью более сложной задачи.

Задача 2. Движение вдогонку

Условие: велосипедист выехал из посёлка со скоростью 15 км/ч. Через 2 часа вслед за ним выехал мотоциклист со скоростью 45 км/ч. Через сколько часов после своего выезда мотоциклист догонит велосипедиста?

Решение:

К моменту выезда мотоциклиста велосипедист проехал 15 · 2 = 30 км — это расстояние между ними на старте.

При движении вдогонку расстояние сокращается со скоростью разности: 45 − 15 = 30 км/ч.

Время: t = 30 / 30 = 1 ч.

Ответ: через 1 час.

Проверка: за 1 ч мотоциклист проедет 45 км; велосипедист к этому моменту в пути 3 ч и проехал 15 · 3 = 45 км. Совпали.

Ошибка: складывать скорости, как в задаче навстречу. Запомни: навстречу — сумма, вдогонку — разность. Если едут в одну сторону, скорости вычитаются.

Задача 3. Движение по реке

Условие: моторная лодка прошла 24 км по течению реки и вернулась обратно, затратив на весь путь 5 часов. Скорость течения 2 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Решение:

Пусть x км/ч — собственная скорость лодки, x > 2 (иначе против течения лодка не сдвинется).

Скорость по течению — (x + 2) км/ч, против — (x − 2) км/ч.

Время по течению: 24 / (x + 2) ч, против течения: 24 / (x − 2) ч.

По условию весь путь занял 5 ч:

24 / (x + 2) + 24 / (x − 2) = 5.

Умножим обе части на (x + 2)(x − 2) = x² − 4 (при x > 2 не равно нулю):

24(x − 2) + 24(x + 2) = 5(x² − 4) 24x − 48 + 24x + 48 = 5x² − 20 48x = 5x² − 20 5x² − 48x − 20 = 0.

D = 48² + 4 · 5 · 20 = 2304 + 400 = 2704, √D = 52.

x = (48 + 52) / 10 = 10 или x = (48 − 52) / 10 = −0,4.

x = −0,4 не удовлетворяет x > 2.

Проверка: по течению 24 / 12 = 2 ч, против 24 / 8 = 3 ч, всего 5 ч — верно.

Ответ: 10 км/ч.

Ловушка: записать скорость против течения как 2 − x. Собственная скорость всегда больше скорости течения, иначе задачи нет.

Задача 4. Совместная работа

Условие: двое рабочих, работая вместе, выполняют заказ за 6 дней. Первый рабочий, работая один, может выполнить этот заказ на 5 дней быстрее, чем второй. За сколько дней выполнит заказ первый рабочий, работая один?

Решение:

Примем весь заказ за 1. Пусть первый выполняет его за x дней (x > 0), тогда второй — за (x + 5) дней.

Производительность первого — 1 / x заказа в день, второго — 1 / (x + 5). Вместе — 1 / 6 заказа в день.

Производительности при совместной работе складываются:

1 / x + 1 / (x + 5) = 1 / 6.

Умножим на 6x(x + 5):

6(x + 5) + 6x = x(x + 5) 6x + 30 + 6x = x² + 5x x² − 7x − 30 = 0.

D = 49 + 120 = 169, √D = 13.

x = (7 + 13) / 2 = 10 или x = (7 − 13) / 2 = −3 — не подходит.

Проверка: 1 / 10 + 1 / 15 = 3 / 30 + 2 / 30 = 5 / 30 = 1 / 6 — верно.

Ответ: 10 дней.

Совет: в задачах на работу всегда обозначай за x время, а не производительность, — тогда «быстрее на 5 дней» переводится в x + 5 без дробей.

Задача 5. Проценты

Условие: цену товара сначала повысили на 20 %, а затем снизили на 20 %. На сколько процентов изменилась цена по сравнению с первоначальной?

Решение:

Пусть первоначальная цена — a.

После повышения на 20 %: a · 1,2 = 1,2a.

После снижения на 20 % от новой цены: 1,2a · 0,8 = 0,96a.

Итоговая цена — 0,96a, то есть 96 % от первоначальной. Изменение: 100 % − 96 % = 4 % — снижение.

Ответ: цена снизилась на 4 %.

Проверка на числах: пусть a = 100 ₽. После повышения — 120 ₽, после снижения на 20 % от 120 (24 ₽) — 96 ₽. На 4 ₽ меньше 100, то есть на 4 %.

Ловушка: ответить «не изменилась». Проценты берутся от разных величин: 20 % от 120 больше, чем 20 % от 100.

Задача 6. Сплавы

Условие: имеются два сплава. Первый содержит 10 % никеля, второй — 30 % никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25 % никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Решение:

Пусть масса первого сплава — x кг, тогда масса второго — (200 − x) кг, 0 < x < 200.

Масса никеля в первом сплаве: 0,1x кг. Во втором: 0,3(200 − x) кг. В третьем: 0,25 · 200 = 50 кг.

При сплавлении масса никеля сохраняется:

0,1x + 0,3(200 − x) = 50 0,1x + 60 − 0,3x = 50 −0,2x = −10 x = 50.

Масса первого — 50 кг, второго — 200 − 50 = 150 кг. Разница: 150 − 50 = 100 кг.

Проверка: никеля 0,1 · 50 + 0,3 · 150 = 5 + 45 = 50 кг; 50 / 200 = 0,25 = 25 % — верно.

Ответ: на 100 кг.

Ловушка: ответить 50 (масса первого сплава). Спрашивают разницу масс. Последнее предложение условия — перечитать перед записью ответа.

Универсальный алгоритм задания 21

1. Определи тип задачи по таблице и выпиши формулу.
2. Нарисуй таблицу: строки — объекты, столбцы — скорость/производительность/концентрация, время/масса, путь/работа/вещество.
3. Обозначь x то, что спрашивают (или то, через что проще всего выразить остальное). Запиши единицы и ограничение.
4. Заполни таблицу через x.
5. Найди в условии фразу с равенством («на весь путь 5 часов», «вместе за 6 дней», «25 % никеля») и запиши уравнение.
6. Реши, отбрось посторонние корни с причиной.
7. Перечитай вопрос. Ответь на него, а не на «чему равен x».
8. Проверь подстановкой в условие — не в уравнение.

Типичные ошибки

• Складывать скорости вдогонку и вычитать навстречу. Навстречу — сумма, вдогонку — разность.
• Скорость против течения 2 − x. Собственная скорость всегда больше течения.
• Обозначать за x производительность в задаче на работу. Получаются дроби в дробях. Обозначай время.
• Считать проценты от исходной величины на каждом шаге. Каждый следующий процент — от текущей величины.
• Записывать x в ответ, когда спрашивали другое. Половина потерянных баллов в задании 21 — верно решённая задача с ответом на другой вопрос.
• Не отбрасывать посторонний корень. Отрицательная скорость в решении без комментария — минус балл, даже если ответ верный.
• Не проверять. Проверка занимает 30 секунд и ловит арифметику.

Частые вопросы

Как решать текстовые задачи ОГЭ, если не понимаю, с чего начать?

Начни с типа: движение, река, работа, проценты, сплавы. У каждого типа своя формула и своё место, где спрятано равенство (таблица в начале статьи). Потом нарисуй таблицу «объект — скорость — время — путь», обозначь x и заполни её. Уравнение появится из фразы условия про общее время, общую работу или сохранение вещества.

Сколько баллов даёт задание 21 ОГЭ?

Два первичных балла: 2 за верное обоснованное решение с верным ответом, 1 — если решение верное, но ответ неверный из-за арифметики или не отброшен посторонний корень. Ответ без решения — 0 баллов.

Какие текстовые задачи бывают в 21 задании ОГЭ?

Движение навстречу и вдогонку, движение по реке (течение), совместная работа (трубы, рабочие, бригады), проценты и последовательные изменения цены, сплавы и растворы (концентрация). Реже — задачи на среднюю скорость и на движение по кольцу.

Как решать задачи на сплавы и растворы ОГЭ?

Через массу чистого вещества: она сохраняется при смешивании. Масса вещества = масса сплава × концентрация (в долях). Обозначь массу одного из сплавов за x, вырази второй, приравняй сумму масс вещества к массе вещества в итоговом сплаве.

Что делать, если в задаче на движение по реке получается отрицательный корень?

Отбросить его с объяснением: скорость положительна и больше скорости течения. Если оба корня отрицательные или меньше скорости течения — ошибка в уравнении: чаще всего перепутаны x + vреки и x − vреки или знак в разности времён.

Что дальше

• Как решать текстовые задачи: общий метод — та же схема для любых классов.
• Разбор задач на движение — больше вариантов с встречей и обгоном.
• Разбор задач на проценты.
• Как оформлять решение задачи, чтобы не снижали баллы.
• Не сходится своя задача 21? Задай вопрос в Razbery с условием и своим уравнением — разберут, где расхождение.