Как разобрать задачу по математике: метод 4 вопросов

Ты читаешь условие задачи три раза, и с каждым разом оно становится только непонятнее. Числа есть, слова есть, а что с ними делать — нет. Тогда ты либо открываешь ГДЗ, либо пишешь «помогите» в чат, либо закрываешь тетрадь. На контрольной ни один из вариантов не сработает.

Разбор задачи по математике — это не талант, а навык, и он состоит из четырёх вопросов, которые ты задаёшь себе в одном и том же порядке. Ниже — сам метод, четыре задачи из 6–9 классов, разобранные по нему от первой строчки до проверки, и список ошибок, из-за которых задачи «не решаются».

Метод 4 вопросов

Любую задачу — текстовую, на уравнение, геометрическую — можно разобрать, ответив по очереди:

Ключевая идея — ты не ищешь «всё решение» целиком. Ты ищешь один следующий шаг. После него задача становится проще, и ты снова задаёшь четыре вопроса. Так решаются даже задачи, которые «выглядят страшно».

Задача 1. Текстовая, 6 класс

Условие. В двух корзинах 56 яблок. В первой корзине на 12 яблок больше, чем во второй. Сколько яблок в каждой корзине?

Вопрос 1. Что дано, что найти? Дано: всего — 56 яблок; первая больше второй на 12. Найти: количество яблок в первой и во второй корзинах.

Вопрос 2. Что связывает? Два факта: сумма равна 56, разница равна 12. Если обозначить меньшее (вторую корзину) за x, то первая — x + 12. Сумма: x + (x + 12) = 56.

Вопрос 3. Первый шаг? Раскрыть скобки и собрать x: 2x + 12 = 56. Дальше — перенести 12: 2x = 44, и разделить: x = 22. Тогда первая корзина: 22 + 12 = 34.

Вопрос 4. Проверка. Сумма: 22 + 34 = 56 — сходится. Разница: 34 − 22 = 12 — сходится.

Ответ: 34 и 22 яблока.

Заметь: самое трудное было не в вычислениях, а в вопросе 2 — понять, что «на 12 больше» превращается в x + 12, а «всего» — в сложение. Именно этот перевод слов в математику и нужно тренировать.

Совет: обозначай через x меньшую величину. Тогда остальные выражаются через сложение, а не вычитание, и знаки путаются реже.

Задача 2. На зависимость величин, 7 класс

Условие. Поезд прошёл 240 км за 3 часа. За какое время он пройдёт 400 км, двигаясь с той же скоростью?

Вопрос 1. Дано: S1 = 240 км, t1 = 3 ч, S2 = 400 км, скорость одна и та же. Найти: t2.

Вопрос 2. Связь — формула пути: S = v · t. Скорость не дана, но её можно найти из первой части, а потом использовать во второй. Это типичный случай: «мост» состоит из двух пролётов.

Вопрос 3. Первый шаг — найти скорость: v = S1 / t1 = 240 / 3 = 80 км/ч. Второй шаг: t2 = S2 / v = 400 / 80 = 5 ч.

Вопрос 4. Проверка. Размерность: км разделить на км/ч — получаются часы, верно. Здравый смысл: 400 км больше 240 км, значит, времени должно уйти больше, чем 3 ч — 5 ч подходит. Обратная подстановка: 80 · 5 = 400 — сходится.

Ответ: 5 часов.

Обрати внимание на проверку «больше пути — больше времени». Такая прикидка ловит половину ошибок ещё до подстановки: если бы получилось 1,8 ч, ты бы сразу понял, что где-то перепутал деление.

Задача 3. Квадратное уравнение, 8 класс

Условие. Площадь прямоугольника 60 см². Одна сторона на 7 см больше другой. Найдите стороны.

Вопрос 1. Дано: S = 60 см², разница сторон 7 см. Найти: обе стороны.

Вопрос 2. Площадь прямоугольника — произведение сторон. Меньшая сторона x, большая x + 7. Уравнение: x(x + 7) = 60.

Вопрос 3. Первый шаг — привести к стандартному виду: x² + 7x − 60 = 0.

Дальше дискриминант: D = 7² − 4 · 1 · (−60) = 49 + 240 = 289. Корень из 289 равен 17 (проверь: 17 · 17 = 289).

Корни: x = (−7 ± 17) / 2. Первый: (−7 + 17) / 2 = 10 / 2 = 5. Второй: (−7 − 17) / 2 = −24 / 2 = −12.

Здесь важный момент, который часто пропускают: сторона не может быть отрицательной. Корень −12 отбрасываем — не потому что «так надо», а потому что он не подходит по смыслу задачи. Остаётся x = 5, вторая сторона 5 + 7 = 12.

Вопрос 4. Проверка. 5 · 12 = 60 — сходится. 12 − 5 = 7 — сходится.

Ответ: 5 см и 12 см.

Ошибка: записать в ответ оба корня уравнения. Уравнение — это модель задачи, и не каждый корень модели имеет смысл в реальности. Всегда возвращайся к условию и спрашивай: «а такое вообще может быть?»

Задача 4. Проценты, 9 класс

Условие. Цену товара сначала повысили на 20 %, а затем снизили на 20 %. В итоге товар стал стоить 960 рублей. Какой была первоначальная цена?

Вопрос 1. Дано: два изменения цены — +20 % и −20 %; итоговая цена 960 р. Найти: начальную цену.

Вопрос 2. Повышение на 20 % — умножение на 1,2. Снижение на 20 % — умножение на 0,8 (от новой цены, а не от старой — вот где ловушка). Если начальная цена x, то после двух изменений: x · 1,2 · 0,8 = 960.

Вопрос 3. Первый шаг — перемножить коэффициенты: 1,2 · 0,8 = 0,96. Уравнение: 0,96x = 960, откуда x = 960 / 0,96 = 1000.

Вопрос 4. Проверка по шагам: 1000 → +20 % → 1200 → −20 % от 1200 = 240 → 1200 − 240 = 960. Сходится.

Ответ: 1000 рублей.

Обрати внимание, что «+20 % и −20 %» не возвращают к исходной цене: получилось 960, а не 1000. Многие интуитивно считают, что «плюс и минус компенсируются», — это самая частая ошибка в задачах на проценты. Подробнее такие задачи разобраны в статье задачи на проценты.

Что делать, если вопрос 2 не отвечается

Самое частое место, где всё встаёт, — «не знаю, что связывает». Три приёма:

1. Найди похожий пример в параграфе. Не решение своей задачи, а пример с такой же структурой. Сравни, какая формула там использована.
2. Выпиши все формулы темы на поля. Три-четыре формулы. Посмотри, в какой из них есть и данные, и искомое. Это и есть мост.
3. Сделай шаг назад. Если искомое напрямую не выражается, спроси: «а что мне нужно знать, чтобы его найти?» — и ищи это промежуточное значение. Так было в задаче 2 со скоростью.

Если и после этого пусто — значит, вопрос сформулирован: «не понимаю, какая формула связывает площадь и разность сторон». С таким вопросом можно идти к учителю или в Razbery, и ответ будет про твой конкретный пробел, а не «вот решение, перепиши».

Пример: Кирилл, 8 класс, застрял на задаче про прямоугольник. Вместо «помогите» написал: «Понял, что площадь — произведение сторон, но не понимаю, как записать разницу 7 см». Ответ занял одну строку: «меньшая x, большая x + 7». Остальное он сделал сам.

Оформление разбора в тетради

Чтобы метод работал, его нужно писать, а не держать в голове. Схема записи:

Дано: S = 60 см², b − a = 7 см
Найти: a, b
Связь: S = a · b; b = a + 7
Решение: a(a + 7) = 60 → a² + 7a − 60 = 0 → D = 289 → a = 5 (a = −12 не подходит)
b = 12
Проверка: 5 · 12 = 60 ✓
Ответ: 5 см, 12 см

Семь строк, и любая ошибка видна сразу — тебе и учителю. Как оформлять решения, чтобы не терять баллы, — в статье оформление решения.

Типичные ошибки

• Начинать считать до того, как выписал «дано». Половина ошибок — перепутанные величины, потому что они были «в голове».
• Искать сразу всё решение. Ищи только следующий шаг. Решение — это цепочка шагов, а не озарение.
• Обозначать за x большую величину. Появляются вычитания и минусы, знаки теряются.
• Забывать про смысл корней. Отрицательная длина, полтора человека, скорость 500 км/ч у велосипедиста — корень не подходит.
• Считать проценты от исходного числа во второй раз. Второй процент берётся от новой величины.
• Пропускать проверку. Проверка — 30 секунд, а ловит ошибку, которая стоила бы всей задачи.
• Сразу открывать ГДЗ. После чужого решения метод не тренируется, и следующая задача снова «не решается».

Частые вопросы

Как научиться решать задачи по математике, если не получается?

Разбирать каждую задачу по четырём вопросам письменно: дано и найти, связь, первый шаг, проверка. Первые десять задач это будет медленно, потом станет автоматически. Важно решать самому до конца, а не читать чужое решение: навык появляется только от собственных попыток, включая неудачные.

Что делать, если не понимаешь условие задачи?

Перепиши условие своими словами по частям: каждое предложение — отдельная строка с величиной. «На 12 больше» → +12, «всего» → сложение, «в 3 раза меньше» → деление на 3. Если после этого остаётся непонятное слово или оборот — это и есть твой вопрос, задай его учителю или на Razbery именно про этот оборот.

С чего начинать решение задачи?

С выписывания «дано» и «найти» с единицами измерения. Не с формулы и не с вычислений. Пока не написано, что искать, любая формула — угадывание. После «дано» ищи связь между известным и искомым — формулу или уравнение.

Как проверить, правильно ли решена задача?

Три проверки: подставь ответ в условие (сходятся ли все факты), проверь размерность (часы, а не километры), прикинь здравый смысл (может ли быть такое число). Если хотя бы одна проверка не проходит — ошибка есть, ищи её по шагам, начиная с последнего.

Нужно ли записывать «дано» в задачах по алгебре?

Да, хотя бы кратко. В геометрии и физике это требуют, в алгебре — нет, но именно в алгебре ученики чаще всего теряют, что за что обозначили. Одна строка «x — меньшая сторона» экономит десять минут поиска ошибки.

Что дальше

• Как решать текстовые задачи
• Задачи на проценты: разбор 10 типовых
• Задачи на движение с таблицей
• Разбор уравнений: линейные, квадратные, с параметром
• Застрял на вопросе 2 — спроси про конкретный шаг: Razbery