Площади и объёмы: формулы с выводом и разбором

Перед ОГЭ ученик открывает справочник: площадь треугольника — три формулы, трапеции — одна, параллелограмма — две, ромба — две, круга — одна, сектора — ещё одна. Объёмы: призма, цилиндр, пирамида, конус, шар. Двадцать формул, и все нужно помнить, потому что справочный материал на экзамене есть, но не полный.

Хорошая новость: помнить нужно две. Площадь прямоугольника S = ab и объём призмы V = S_осн · h. Всё остальное выводится из них за 30 секунд, и если один раз увидеть вывод, формула перестаёт забываться.

В статье: вывод всех площадей из прямоугольника, всех объёмов из призмы, таблица-шпаргалка и пять задач с решением — три планиметрии из ОГЭ и две стереометрии из ЕГЭ.

Откуда берутся все площади

Прямоугольник: S = a · b. Это определение: площадь — сколько единичных квадратиков помещается. В прямоугольнике 3×4 их 12.

Параллелограмм: S = a · h. Отрежь от параллелограмма треугольник с одного края и приставь с другого — получится прямоугольник со сторонами a и h. Обрати внимание: не a · b (две стороны), а сторона на высоту к ней. Косой параллелограмм с теми же сторонами будет иметь меньшую площадь.

Треугольник: S = (1/2) · a · h. Любой треугольник — половина параллелограмма: приложи к нему такой же, перевёрнутый. Отсюда половина.

Трапеция: S = (a + b)/2 · h. Разрежь трапецию диагональю на два треугольника с основаниями a и b и общей высотой h: (1/2)ah + (1/2)bh = (a + b)h/2. Полусумма оснований на высоту.

Ромб: S = (d₁ · d₂)/2. Диагонали ромба перпендикулярны и делят его на четыре прямоугольных треугольника с катетами d₁/2 и d₂/2. Четыре штуки по (1/2)(d₁/2)(d₂/2) = d₁d₂/2. Та же формула работает для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, в том числе для квадрата.

Круг: S = πr². Строго выводится через пределы, но можно представить: разрежь круг на много тонких секторов и разложи их «зубцами» в полоску. Получится почти прямоугольник с высотой r и длиной, равной половине окружности πr. Площадь πr · r = πr².

Сектор — это часть круга: S = πr² · α/360°, где α — угол сектора в градусах.

Ещё две формулы для треугольника, которые часто нужны:

• Через две стороны и угол между ними: S = (1/2) · a · b · sin γ. Это та же (1/2)ah, где высота h = b sin γ — из прямоугольного треугольника.
• Формула Герона: S = √(p(p − a)(p − b)(p − c)), где p = (a + b + c)/2 — полупериметр. Когда известны только три стороны.

Таблица-шпаргалка по площадям

Совет: в задаче на клетчатой бумаге не ищи формулу — считай через прямоугольник. Опиши вокруг фигуры прямоугольник по клеткам и вычти лишние прямоугольные треугольники по углам. Это надёжнее, чем считать высоту по клеткам «на глаз».

Откуда берутся все объёмы

Призма и цилиндр: V = S_осн · h. Логика та же, что у прямоугольника: сколько единичных кубиков помещается. Слой толщиной 1 содержит S_осн кубиков, слоёв — h. Для прямоугольного параллелепипеда это abc, для куба a³, для цилиндра πr²h. Призма может быть наклонной — тогда h — это перпендикулярная высота, а не длина ребра.

Пирамида и конус: V = (1/3) · S_осн · h. Одна треть — потому что куб можно разрезать на три равные пирамиды с вершиной в одном углу. Формула одна для любой пирамиды и для конуса: (1/3)πr²h.

Шар: V = (4/3)πr³. Это уже без простого вывода — Архимед доказывал через сравнение с цилиндром и конусом. Просто помни: четыре третьих, пи, эр в кубе. Площадь поверхности шара — 4πr²: четыре площади большого круга.

Площади поверхностей. Для призмы и цилиндра: боковая поверхность = периметр основания × высота (это развёртка — прямоугольник). Для цилиндра S_бок = 2πrh. Для конуса S_бок = πrl, где l — образующая (расстояние от вершины до края основания).

Задача 1. Площадь треугольника на клетчатой бумаге (ОГЭ)

Условие. Треугольник с вершинами A(1; 1), B(7; 2), C(3; 5) на клетчатой бумаге с клеткой 1×1. Найти площадь.

Шаг 1. Описываем прямоугольник: x от 1 до 7 (ширина 6), y от 1 до 5 (высота 4). Площадь 6 · 4 = 24.

Шаг 2. Вычитаем три угловых прямоугольных треугольника:

• между A и B: катеты 6 (по x) и 1 (по y): 6 · 1 / 2 = 3;
• между B и C: катеты 4 (по x, от 3 до 7) и 3 (по y, от 2 до 5): 4 · 3 / 2 = 6;
• между A и C: катеты 2 (по x, от 1 до 3) и 4 (по y): 2 · 4 / 2 = 4.

Шаг 3. 24 − 3 − 6 − 4 = 11.

Ответ: 11.

Никаких высот, никаких формул с синусом. Только прямоугольники и их половинки.

Задача 2. Площадь трапеции (ОГЭ)

Условие. Основания трапеции 8 и 14, боковая сторона 5, угол между этой стороной и большим основанием 30°. Найти площадь.

Шаг 1. Нужна высота. Опускаем её из вершины на большее основание — получаем прямоугольный треугольник с гипотенузой 5 (боковая сторона) и углом 30°.

Шаг 2. Катет против угла 30° равен половине гипотенузы: h = 5/2 = 2,5.

Шаг 3. S = (8 + 14)/2 · 2,5 = 11 · 2,5 = 27,5.

Ответ: 27,5.

Половина всех задач на трапецию — это «найди высоту через боковую сторону и угол». Высота — катет, боковая сторона — гипотенуза, дальше синус или свойство угла 30°.

Задача 3. Площадь через синус (ОГЭ/ЕГЭ)

Условие. Две стороны треугольника равны 6 и 10, угол между ними 150°. Найти площадь.

Шаг 1. Формула S = (1/2)ab sin γ.

Шаг 2. sin 150° = sin (180° − 30°) = sin 30° = 1/2.

Шаг 3. S = (1/2) · 6 · 10 · (1/2) = 15.

Ответ: 15.

Ошибка: взять sin 150° = −1/2 или решить, что синус тупого угла «не считается». Синус во II четверти положителен. Площадь всегда положительна — если получил минус, ошибка в знаке синуса.

Задача 4. Объём пирамиды (ЕГЭ, задание 3)

Условие. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 и 8. Высота пирамиды 5. Найти объём.

Шаг 1. S_осн = 6 · 8 = 48.

Шаг 2. V = (1/3) · 48 · 5 = 80.

Ответ: 80.

Если бы в условии была не пирамида, а призма с тем же основанием и высотой — V = 48 · 5 = 240, ровно втрое больше. Эта тройка — самая частая потеря в задании 3.

Задача 5. Цилиндр и конус с общим основанием (ЕГЭ)

Условие. Объём конуса равен 12. Найти объём цилиндра с тем же основанием и той же высотой.

Шаг 1. V_конуса = (1/3)πr²h, V_цилиндра = πr²h. Общий множитель πr²h.

Шаг 2. V_цилиндра = 3 · V_конуса = 36.

Ответ: 36.

Не нужно искать ни радиус, ни высоту. Половина задач ЕГЭ на объёмы — про отношение: «во сколько раз увеличится объём шара, если радиус утроить?» Ответ: в 27 раз (r³). «Во сколько раз увеличится площадь круга, если радиус утроить?» В 9 (r²). Площадь растёт как квадрат линейных размеров, объём — как куб.

Как решать задачу на площадь или объём

1. Определи фигуру и что дано: стороны, высота, угол, диагонали?
2. Выбери формулу, где всё известно, кроме площади. Если такой нет — найди недостающее (обычно высоту) через прямоугольный треугольник.
3. Для тел: сначала площадь основания, потом умножай на высоту (и дели на 3 для пирамиды и конуса).
4. Проверь единицы: площадь в см², объём в см³. Если стороны в разных единицах — приведи к одной до расчёта.
5. Оцени ответ на здравый смысл: площадь треугольника не может быть больше площади описанного прямоугольника.

Пример: ученик считал объём цилиндра с радиусом 2 см и высотой 1 дм. Получил π · 4 · 1 = 4π см³. Ошибка: высота 1 дм = 10 см, правильно π · 4 · 10 = 40π см³. Единицы — первое, что проверяют.

Типичные ошибки

Умножают две стороны параллелограмма. S = ab только у прямоугольника. У параллелограмма — сторона на высоту или ab sin α.

Забывают делить на 2 у треугольника и на 3 у пирамиды. Треугольник — половина, пирамида — треть.

Берут диагональ вместо высоты. В трапеции и параллелограмме высота — перпендикуляр, а не наклонная линия.

Путают радиус и диаметр. Дан диаметр 10 — радиус 5, площадь 25π, а не 100π.

Считают синус тупого угла отрицательным. sin 120° = sin 60° = √3/2.

Не переводят единицы. Смешивают сантиметры и метры в одной формуле.

Складывают площади вместо объёмов. Площадь поверхности и объём — разные величины; в задаче про краску нужна поверхность, про вместимость — объём.

Частые вопросы

Как найти площадь треугольника?

Тремя способами в зависимости от данных: половина основания на высоту ah/2; половина произведения двух сторон на синус угла между ними; формула Герона по трём сторонам. Для прямоугольного треугольника — половина произведения катетов. На клетчатой бумаге — описанный прямоугольник минус угловые треугольники.

Откуда берётся формула площади трапеции?

Диагональ делит трапецию на два треугольника с основаниями a и b и одинаковой высотой h. Их площади ah/2 и bh/2, сумма (a + b)h/2. Полусумма оснований — это средняя линия трапеции, так что формулу можно читать как «средняя линия на высоту».

Почему объём пирамиды в три раза меньше объёма призмы?

Куб можно разрезать на три одинаковые пирамиды с общей вершиной в одном из углов куба и основаниями на трёх гранях. Каждая — треть куба. В общем случае это доказывается через принцип Кавальери, но идея та же: пирамида «сужается» к вершине и занимает треть призмы над тем же основанием.

Как найти площадь круга и длину окружности?

Площадь S = πr², длина окружности C = 2πr. Если дан диаметр d, то r = d/2. Часть круга (сектор) — умножь площадь на долю угла: πr² · α/360°. Число π ≈ 3,14; в ответах ЕГЭ его обычно просят оставить или делят на него.

Что делать, если формула забылась на экзамене?

Выводить. Параллелограмм — перекроить в прямоугольник. Треугольник — половина параллелограмма. Трапеция — два треугольника. Ромб — четыре прямоугольных треугольника из диагоналей. Пирамида — треть призмы. Из двух базовых формул восстанавливается всё за минуту.

Что дальше

• Геометрия 8 класс: четырёхугольники и подобие с разбором — свойства параллелограмма, ромба и трапеции, без которых высоту не найти.
• Тригонометрия: разбор от круга до уравнений — синусы тупых углов и почему они положительны.
• Планиметрия ЕГЭ: разбор задач 1 и 16 — площади в экзаменационных задачах.
• Стереометрия ЕГЭ: разбор задач с координатами — объёмы и сечения в задании 14.
• Не получается найти высоту в своей задаче — спроси в Razbery: нарисуют и покажут, откуда она берётся.