Векторы: разбор задач по геометрии и физике

Векторы проходят дважды: в 9 классе на геометрии и на физике с 7-го, где силы и скорости рисуют стрелками. И оба раза остаётся ощущение, что это две разные темы. На геометрии — какие-то координаты и скалярное произведение, на физике — «складываем по правилу параллелограмма» и проекции на оси.

Это одна и та же тема. Вектор — это стрелка, у которой есть длина и направление. Всё остальное — способы с этой стрелкой работать: складывать, умножать на число, раскладывать по осям, находить угол между двумя.

В статье разберём векторы с нуля так, чтобы работало и на геометрии, и на физике. Пять задач: три по геометрии (координаты, длина, угол), две по физике (равнодействующая, скорость лодки).

Что такое вектор и чем он отличается от числа

Температура — 20 градусов. Это скаляр: одно число, направления нет. Скорость машины — 60 км/ч на север. Это вектор: число плюс направление. Сказать «скорость 60» — не сказать ничего, если не ясно, куда.

Вектор обозначают стрелкой над буквой (→a) или двумя буквами: →AB — от точки A к точке B. A — начало, B — конец. Длину вектора пишут как |→AB|.

Два вектора равны, если у них одинаковая длина и одинаковое направление. Где именно они нарисованы — не важно. Вектор можно двигать параллельно самому себе, он от этого не изменится. Это главное отличие от отрезка: отрезок привязан к месту, вектор — нет.

Особые случаи:

• Нулевой вектор — начало совпадает с концом, длина 0, направления нет.
• Противоположные векторы — одна длина, противоположные направления: →BA = −→AB.
• Коллинеарные — лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Один из них равен другому, умноженному на число.

Сложение и вычитание: два правила, которые на самом деле одно

Правило треугольника. Чтобы сложить →a и →b, приложи начало →b к концу →a. Сумма — вектор от начала →a к концу →b. По-другому: →AB + →BC = →AC. Шёл из A в B, потом из B в C — в итоге переместился из A в C.

Правило параллелограмма. Приложи оба вектора к одной точке, дострой до параллелограмма. Сумма — диагональ из этой точки. Это то же правило треугольника, просто нарисованное иначе, и оно удобнее в физике, где силы приложены к одному телу.

Вычитание. →a − →b = →a + (−→b): разверни второй вектор и сложи. Или: если оба вектора выходят из одной точки, то →a − →b — это вектор от конца →b к концу →a. Запомнить: «из конца вычитаемого в конец уменьшаемого».

Умножение на число. 2→a — тот же вектор вдвое длиннее. −→a — той же длины, в обратную сторону. 0,5→a — вдвое короче.

Совет: в геометрической задаче на выражение вектора через другие — иди по «маршруту». Нужно выразить →AC в параллелограмме ABCD через →AB и →AD? Из A в C можно пройти через B: →AC = →AB + →BC, а →BC = →AD (противоположные стороны параллелограмма). Значит →AC = →AB + →AD.

Координаты: вектор как пара чисел

На плоскости любой вектор можно разложить по осям: →a = (x; y), где x — насколько сдвинулись вправо, y — насколько вверх. Это координаты вектора.

Если вектор задан точками A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то →AB = (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Из координат конца вычитаем координаты начала. Не наоборот.

С координатами все действия превращаются в арифметику:

Длина — это теорема Пифагора: вектор (x; y) — гипотенуза прямоугольного треугольника с катетами x и y.

В пространстве добавляется третья координата z, и все формулы просто получают ещё одно слагаемое: длина √(x² + y² + z²).

Скалярное произведение: зачем оно нужно

Скалярное произведение двух векторов — это число (не вектор!), которое считается двумя способами:

• через длины и угол: →a · →b = |→a| · |→b| · cos φ;
• через координаты: →a · →b = x₁x₂ + y₁y₂.

Приравниваем — и получаем формулу для угла между векторами:

cos φ = (x₁x₂ + y₁y₂) / (|→a| · |→b|).

Это главное применение. Ещё два:

• Перпендикулярность: векторы перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0 (потому что cos 90° = 0). Проверить, что (3; 4) ⊥ (−4; 3): −12 + 12 = 0. Да.
• Квадрат вектора: →a · →a = |→a|². Полезно в задачах про длину диагонали.

В физике скалярное произведение — это работа: A = →F · →s = F · s · cos α. Сила, приложенная под углом к перемещению, работает только своей проекцией.

Задача 1. Координаты и длина вектора

Условие. Даны точки A(1; −2) и B(4; 2). Найти координаты и длину →AB.

Шаг 1. Координаты: из конца вычитаем начало. →AB = (4 − 1; 2 − (−2)) = (3; 4).

Шаг 2. Длина: |→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5.

Ответ: →AB = (3; 4), |→AB| = 5.

Проверка на здравый смысл: сдвинулись на 3 вправо и на 4 вверх — по Пифагору диагональ 5. Египетский треугольник, он вечен.

Задача 2. Угол между векторами

Условие. Найти угол между векторами →a = (2; 2) и →b = (3; 0).

Шаг 1. Скалярное произведение: →a · →b = 2 · 3 + 2 · 0 = 6.

Шаг 2. Длины: |→a| = √(4 + 4) = √8 = 2√2; |→b| = √(9 + 0) = 3.

Шаг 3. cos φ = 6 / (2√2 · 3) = 6 / (6√2) = 1/√2 = √2/2.

Шаг 4. φ = 45°.

Ответ: 45°.

Проверка глазами: →b лежит на оси x, →a идёт по диагонали под 45° — сходится.

Задача 3. Выразить вектор в треугольнике (типовая задача 9 класса)

Условие. В треугольнике ABC точка M — середина BC. Выразить →AM через →AB и →AC.

Шаг 1. Идём по маршруту: →AM = →AB + →BM.

Шаг 2. M — середина BC, значит →BM = (1/2)→BC.

Шаг 3. →BC = →AC − →AB (из конца вычитаемого в конец уменьшаемого: оба выходят из A).

Шаг 4. Собираем: →AM = →AB + (1/2)(→AC − →AB) = →AB + (1/2)→AC − (1/2)→AB = (1/2)→AB + (1/2)→AC.

Ответ: →AM = (→AB + →AC) / 2.

Это формула медианы: медиана — полусумма векторов сторон. Стоит запомнить, она встречается постоянно.

Задача 4. Равнодействующая сил (физика)

Условие. На тело действуют две силы: F₁ = 6 Н направлена на восток, F₂ = 8 Н — на север. Найти модуль равнодействующей и угол, который она образует с направлением на восток.

Шаг 1. Вводим оси: x — на восток, y — на север. Тогда →F₁ = (6; 0), →F₂ = (0; 8).

Шаг 2. Равнодействующая — векторная сумма: →R = →F₁ + →F₂ = (6; 8).

Шаг 3. Модуль: |→R| = √(36 + 64) = √100 = 10 Н.

Шаг 4. Угол с осью x: tg α = 8/6 = 4/3, α ≈ 53°. (Или cos α = 6/10 = 0,6.)

Ответ: 10 Н под углом ≈ 53° к востоку.

Ошибка: сложить 6 и 8 и получить 14 Н. Силы — векторы, они складываются по правилу параллелограмма, а не арифметически. Арифметически складываются только силы, направленные вдоль одной прямой.

Если бы силы были направлены под произвольным углом θ друг к другу, работала бы формула из теоремы косинусов: R² = F₁² + F₂² + 2F₁F₂ cos θ. При θ = 90° косинус нулевой, и получается Пифагор.

Задача 5. Лодка и течение

Условие. Скорость лодки относительно воды 4 м/с, направлена перпендикулярно берегу. Скорость течения 3 м/с. Найти скорость лодки относительно берега и направление движения.

Шаг 1. Скорость относительно берега — сумма скорости лодки относительно воды и скорости самой воды: →v = →v_л + →v_т. Это правило сложения скоростей.

Шаг 2. Оси: x — вдоль берега (по течению), y — поперёк. →v_л = (0; 4), →v_т = (3; 0).

Шаг 3. →v = (3; 4), модуль √(9 + 16) = 5 м/с.

Шаг 4. Направление: лодку сносит по течению; угол между её курсом и реальным движением: tg β = 3/4, β ≈ 37°.

Ответ: 5 м/с, лодка движется под углом ≈ 37° к перпендикуляру, её сносит вниз по течению.

Если бы вопрос был «под каким углом направить лодку, чтобы плыть строго поперёк», решение обратное: нужно, чтобы сумма имела нулевую составляющую вдоль берега, то есть лодка должна направить часть своей скорости против течения. Тогда поперечная скорость √(16 − 9) = √7 ≈ 2,65 м/с.

Как решать любую задачу с векторами

1. Нарисуй. Даже если координаты даны — набросай, куда что направлено. Половина ошибок — от неправильного знака.
2. Реши, какой способ удобнее: геометрический (маршрут по фигуре) или координатный (введи оси).
3. В координатном — запиши каждый вектор как пару чисел. В физике сначала выбери оси так, чтобы как можно больше векторов лежали вдоль них.
4. Выполни действия: сложение покомпонентно, длина по Пифагору, угол через скалярное произведение.
5. Проверь на здравый смысл: угол между сонаправленными векторами 0°, между противоположными 180°, длина не бывает отрицательной.

Типичные ошибки

Путают порядок при вычитании координат. →AB — это B − A, конец минус начало. Перепутал — получил противоположный вектор, а угол — тупой вместо острого.

Складывают модули вместо векторов. 6 Н и 8 Н дают 10 Н, а не 14, если они перпендикулярны. Модуль суммы равен сумме модулей только для сонаправленных векторов.

Считают, что скалярное произведение — вектор. Это число. →a · →b = 2 — нормальный ответ, →a · →b = (2; 3) — нет.

Забывают корень в длине. |→a| = √(x² + y²), а не x² + y².

Теряют знак при умножении на отрицательное число. −2 · (3; −1) = (−6; 2), оба знака меняются.

Путают коллинеарные и равные. Коллинеарные — на параллельных прямых, любой длины, в любую сторону. Равные — та же длина и то же направление.

В физике проецируют силу без косинуса. Если сила под углом к оси, её проекция — F cos α, а не F.

Частые вопросы

Что такое вектор простыми словами?

Это стрелка: у неё есть длина и направление, и больше ничего. Где она нарисована — не важно, вектор можно переносить параллельно себе. Скорость, сила, перемещение — векторы: их нельзя описать одним числом, нужно ещё сказать «куда».

Как складывать векторы?

Приложи начало второго к концу первого — сумма идёт от начала первого к концу второго (правило треугольника). Если оба выходят из одной точки — достраивай параллелограмм, сумма его диагональ. В координатах просто складывай соответствующие координаты: (1; 2) + (3; −1) = (4; 1).

Как найти координаты вектора по двум точкам?

Из координат конца вычти координаты начала. Для A(1; 5) и B(4; 3): →AB = (4 − 1; 3 − 5) = (3; −2). Вектор →BA будет с противоположными знаками: (−3; 2).

Что такое скалярное произведение и зачем оно?

Число, равное |→a| · |→b| · cos φ или, в координатах, x₁x₂ + y₁y₂. Нужно, чтобы находить угол между векторами и проверять перпендикулярность (произведение равно 0). В физике это работа силы: A = F · s · cos α.

Как найти длину вектора?

По координатам: √(x² + y²) на плоскости, √(x² + y² + z²) в пространстве. Это теорема Пифагора. Длина (3; 4) равна 5, длина (1; 1) равна √2.

Что дальше

• Тригонометрия: разбор от круга до уравнений — угол между векторами это косинус, без круга не обойтись.
• Законы Ньютона: разбор задач на силы — там равнодействующая сил на каждом шагу.
• Геометрия 8 класс: четырёхугольники и подобие с разбором — параллелограмм, на котором держится правило сложения.
• Стереометрия ЕГЭ: разбор задач с координатами — векторы в пространстве, задание 14 профиля.
• Если своя задача не складывается — задай её в Razbery: нарисуют и объяснят, откуда какой вектор.