Планиметрия ЕГЭ: разбор задач 1 и 16

Пробник по профильной математике. Первая задача — треугольник, найти синус угла. Ты помнишь, что синус — это «что-то на что-то», но что именно, вылетело. Ставишь 0,8 вместо 0,6 и теряешь балл на самом простом задании варианта. А до задачи с доказательством во второй части ты вообще не дошёл: «там же надо что-то доказывать, это не для меня».

Планиметрия на ЕГЭ — это две задачи с очень разной ценой. Первая из части 1 стоит один балл и проверяет, помнишь ли ты определения из 8–9 класса. Вторая — из части 2, с пунктом «докажите» и пунктом «найдите», стоит три балла и проверяет, умеешь ли ты видеть подобие и окружности. Первую решают почти все, вторую — заметно меньшая часть сдающих. Хотя схема у неё, как ты увидишь, вполне повторяемая.

В КИМ 2023 года это были задачи 1 и 16; с 2024 года из-за добавленной задачи на векторы вторая планиметрия сдвинулась на номер 17. Актуальную нумерацию всегда проверяй в демоверсии на fipi.ru. Ниже разберём три задачи уровня части 1 и две задачи с доказательством — полностью, с объяснением, откуда берётся каждый шаг.

Что нужно знать для первой задачи

Первая задача — это одна формула или одно свойство. Никаких цепочек рассуждений. Вот всё, что реально спрашивают, собранное в одну таблицу:

Если что-то из таблицы вызывает вопрос «а почему?», остановись и выведи. Например, почему вписанный угол вдвое меньше центрального: проведи радиус к вершине вписанного угла, получишь два равнобедренных треугольника, и через внешние углы всё складывается. Выведенное один раз не забывается.

Задача 1. Синус угла в прямоугольном треугольнике

Условие. В треугольнике ABC угол C равен 90°, AC = 8, BC = 6. Найдите sin A.

Шаг 1. Нарисовать и подписать. Даже в самой простой задаче: прямой угол при C, катеты AC = 8 и BC = 6. Гипотенуза AB неизвестна.

Шаг 2. Найти гипотенузу. По теореме Пифагора AB² = AC² + BC² = 64 + 36 = 100, откуда AB = 10. Это египетский треугольник 6–8–10, он встречается в каждом втором варианте.

Шаг 3. Определить, какой катет противолежащий. Угол A находится при вершине A. Противолежащий ему катет — тот, который не касается вершины A, то есть BC. Прилежащий — AC.

Шаг 4. Записать синус. sin A = BC / AB = 6 / 10 = 0,6.

Ответ: 0,6.

Ошибка: самая частая — перепутать катеты и написать 8/10 = 0,8. Это cos A, а не синус. Проверка: синус — про сторону напротив угла. Подпиши на рисунке угол A и проведи взгляд «через треугольник» — упрёшься в BC.

Задача 2. Вписанный и центральный угол

Условие. Точки A, B и C лежат на окружности с центром O. Угол ACB равен 35°. Найдите угол AOB (в градусах), если точки C и O лежат по одну сторону от прямой AB.

Шаг 1. Определить, какие это углы. Угол ACB с вершиной на окружности — вписанный. Он опирается на дугу AB (ту, которая не содержит точку C). Угол AOB с вершиной в центре — центральный, опирается на ту же дугу AB.

Шаг 2. Применить теорему. Вписанный угол равен половине центрального, опирающегося на ту же дугу: ∠ACB = ∠AOB / 2.

Шаг 3. Посчитать. ∠AOB = 2 · 35° = 70°.

Шаг 4. Понять, зачем в условии оговорка про «одну сторону». Она отсекает второй случай. Если C и центр лежат по разные стороны от AB, вписанный угол опирается на дугу больше полуокружности, и угол AOB считается иначе: ∠AOB = 360° − 2 · ∠ACB. Так бывает, когда вписанный угол тупой: при ∠ACB = 110° вышло бы 360° − 220° = 140°. У нас угол острый, случай стандартный: 2 · 35° = 70°.

Ответ: 70.

Задача 3. Ромб: площадь и сторона

Условие. Диагонали ромба равны 6 и 8. Найдите площадь ромба и его сторону.

Шаг 1. Площадь через диагонали. Для ромба S = d₁ · d₂ / 2 = 6 · 8 / 2 = 24. Формула работает для любого четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями, а у ромба они всегда перпендикулярны.

Шаг 2. Вспомнить, что диагонали ромба делятся пополам в точке пересечения. Половины диагоналей — 3 и 4.

Шаг 3. Найти сторону. Диагонали перпендикулярны, поэтому половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, а сторона ромба — гипотенуза: a² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25, a = 5.

Ответ: площадь 24, сторона 5.

Если после этого спросят высоту ромба, то из S = a · h получаем h = 24 / 5 = 4,8. Одна задача даёт три разных вопроса, и все они встречаются в вариантах.

Задача 4. Доказательство подобия через высоты

Переходим к задаче с доказательством. Структура всегда одна: пункт а) «докажите», пункт б) «найдите». Пункт б) почти всегда использует то, что доказано в а).

Условие. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA₁ и BB₁. а) Докажите, что треугольник A₁B₁C подобен треугольнику ABC. б) Найдите A₁B₁, если AB = 10 и угол C равен 60°.

Пункт а). Шаг 1. Разобраться с рисунком. A₁ лежит на BC, B₁ — на AC. Угол C общий для треугольников A₁B₁C и ABC. Для подобия по двум сторонам и углу между ними нужно показать, что CA₁ / CA = CB₁ / CB, то есть стороны при общем угле пропорциональны.

Шаг 2. Выразить CA₁. Треугольник AA₁C прямоугольный (AA₁ — высота, угол AA₁C = 90°). В нём CA₁ — катет, прилежащий к углу C, а CA — гипотенуза. Значит, CA₁ = CA · cos C.

Шаг 3. Выразить CB₁. Точно так же в прямоугольном треугольнике BB₁C: CB₁ = CB · cos C.

Шаг 4. Составить отношения. Здесь важно правильно сопоставить стороны. Отрезок CA₁ лежит на стороне CB, но по величине он связан с CA: CA₁ / CA = cos C. Отрезок CB₁ лежит на CA, а связан с CB: CB₁ / CB = cos C. Оба отношения равны одному и тому же числу cos C. Если бы мы наивно делили CA₁ на CB (потому что «лежит на ней»), пропорция бы не сошлась — это и есть главная ловушка задачи.

Шаг 5. Вывод. Угол C общий, стороны, прилежащие к нему, пропорциональны с одним коэффициентом cos C. По второму признаку подобия треугольник A₁B₁C подобен треугольнику ABC (порядок вершин: A₁ соответствует A, B₁ — B, C — самому себе) с коэффициентом k = cos C. Что и требовалось доказать.

Совет: в шаге 4 легко ошибиться в соответствии сторон: A₁ лежит на CB, а пропорционален он стороне CA. Проверь себя на числах: CA = 4, CB = 6, ∠C = 60° — тогда CA₁ = 2, CB₁ = 3, и отношения 2 / 4 и 3 / 6 совпадают, а 2 / 6 и 3 / 4 — нет. Эксперты порядок вершин не штрафуют, если из решения ясно, какие стороны каким соответствуют, но сам ты должен это понимать, иначе пункт б) не сойдётся.

Пункт б). Шаг 1. Использовать коэффициент подобия. Сторона A₁B₁ лежит против общего угла C — как и сторона AB в треугольнике ABC, поэтому они соответственные. Значит, A₁B₁ = AB · k = AB · cos C.

Шаг 2. Подставить. A₁B₁ = 10 · cos 60° = 10 · 0,5 = 5.

Ответ: б) 5.

Это одна из самых частых конструкций во второй части: «отрезок, соединяющий основания двух высот, равен третьей стороне, умноженной на косинус угла между этими высотами и стороной». Запомни как факт, но на экзамене доказывай.

Задача 5. Высота к гипотенузе

Условие. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. а) Докажите, что CH² = AH · BH. б) Найдите CH, если AH = 4, BH = 9.

Пункт а). Шаг 1. Найти подобные треугольники. Высота CH делит треугольник на два прямоугольных: ACH (прямой угол при H) и CBH (прямой угол при H). Покажем, что они подобны друг другу.

Шаг 2. Сравнить острые углы. В треугольнике ABC сумма острых углов ∠A + ∠B = 90°. В треугольнике ACH ∠ACH = 90° − ∠A = ∠B. Аналогично в треугольнике CBH ∠BCH = 90° − ∠B = ∠A.

Шаг 3. Записать подобие. В треугольнике ACH углы: ∠A, ∠ACH = ∠B, 90°. В треугольнике CBH углы: ∠BCH = ∠A, ∠B, 90°. Два угла равны, треугольники подобны по первому признаку: ACH ~ CBH, где A соответствует C, C соответствует B, H соответствует H.

Шаг 4. Записать пропорцию. Соответственные стороны: AH (против угла ∠ACH = ∠B) соответствует CH (против угла ∠B); CH (против угла ∠A) соответствует BH (против угла ∠BCH = ∠A). Значит, AH / CH = CH / BH.

Шаг 5. Вывод. Из пропорции CH² = AH · BH. Доказано.

Пункт б). CH² = 4 · 9 = 36, CH = 6.

Ответ: б) 6.

Эта задача — доказательство известного свойства: высота к гипотенузе есть среднее геометрическое проекций катетов. Из того же подобия выводятся ещё два соотношения: AC² = AH · AB и BC² = BH · AB. В нашем примере AB = 13, AC² = 4 · 13 = 52, BC² = 9 · 13 = 117; проверка по Пифагору: 52 + 117 = 169 = 13². Сходится.

Как искать доказательство: схема из четырёх вопросов

Пункт а) в задаче с доказательством пугает, потому что кажется, что надо «догадаться». На самом деле почти все доказательства строятся из четырёх заготовок. Пройди по вопросам по порядку:

1. Есть ли два прямых угла, опирающихся на один отрезок? Тогда четыре точки лежат на одной окружности с диаметром в этом отрезке. Появляются равные вписанные углы.
2. Есть ли общий угол или вертикальные углы у двух треугольников? Ищи второй равный угол — получишь подобие. Из подобия — пропорция, из пропорции — нужное равенство.
3. Есть ли касательная? Радиус в точку касания перпендикулярен ей; отрезки касательных из одной точки равны; угол между касательной и хордой равен половине дуги.
4. Есть ли биссектриса? Она делит противоположную сторону пропорционально прилежащим сторонам; точка на биссектрисе равноудалена от сторон угла.

Пример: ученик получает задачу «две высоты AA₁ и BB₁, докажите, что ∠CA₁B₁ = ∠CAB». Проходит по схеме: два прямых угла AA₁B и AB₁B опираются на AB — значит, A, B, A₁, B₁ лежат на окружности с диаметром AB. Четырёхугольник ABA₁B₁ вписанный, внешний угол при вершине A₁ равен внутреннему углу при противоположной вершине A. Доказательство в три строки, ничего не «угадывалось».

Как оформлять решение

1. Рисунок с подписями. Все точки из условия, все прямые углы отмечены. Рисунок не оценивается сам по себе, но без него эксперту сложно следить за ходом мысли, а тебе — не потерять соответствие вершин.
2. Каждый шаг доказательства — с обоснованием. Не «очевидно, что треугольники подобны», а «подобны по двум углам: угол C общий, ∠CA₁B₁ = ∠CAB как…».
3. Пункт б) отдельно. Даже если он использует пункт а), напиши «по доказанному в пункте а)» и сошлись на конкретное равенство.
4. Ответ — числом. В пункте б) ответ выделен, а не спрятан в конце строки вычислений.

Если пункт а) не получился, всё равно решай б), используя утверждение из а) как данное. За верный пункт б) при неверном а) дают балл.

Типичные ошибки

• Перепутать синус и косинус. Синус — противолежащий катет к гипотенузе. Перед ответом на первую задачу пальцем проверь, какой катет напротив угла.
• Считать вписанный угол равным центральному. Вписанный вдвое меньше. При этом угол, опирающийся на диаметр, равен 90° — это тот же факт, просто центральный угол равен 180°.
• Забывать, что диагонали ромба делятся пополам. Сторона ромба ищется из половин диагоналей, а не из целых.
• Писать «подобны» без признака. Эксперт снимает балл, если не указано, по какому признаку и какие именно элементы равны.
• Терять соответствие вершин в подобии. Из-за этого в пункте б) берётся не та сторона. Записывай подобие так, чтобы одинаковые углы стояли на одинаковых позициях.
• Пропускать пункт б), если не вышло а). Пункт б) можно решить, опираясь на а) как на факт, и получить за это балл.
• Начинать вторую часть с планиметрии. Она стоит 3 балла и требует времени; сначала стоит закрыть более «механические» задачи второй части, а к геометрии вернуться с запасом.

Частые вопросы

Какие задачи по планиметрии есть в ЕГЭ по профильной математике?

Две. Одна в первой части — с кратким ответом, на одну формулу или свойство (в КИМ 2023–2026 это задача 1). Вторая во второй части — с развёрнутым решением, состоит из пункта «докажите» и пункта «найдите», оценивается в 3 балла (задача 16 в 2023 году, 17 с 2024 года). Точную нумерацию проверяй в демоверсии на fipi.ru.

Как решать первую задачу ЕГЭ по математике профиль?

Нарисовать, подписать данные, найти одно свойство или формулу, которая связывает данное и искомое. Чаще всего это тригонометрия прямоугольного треугольника, вписанные углы, площади четырёхугольников или свойства касательной. Считать нужно аккуратно: задача стоит один балл, и ошибка в арифметике обидна.

С чего начать доказательство в задаче 16 (17) по планиметрии?

С поиска «заготовки»: два прямых угла на одном отрезке дают окружность, общий угол у двух треугольников — подобие, касательная — перпендикуляр к радиусу. Пройди по этим четырём вопросам из статьи, и в большинстве задач один из них сработает. Дальше — записать равенство углов или пропорцию и довести до требуемого.

Дают ли баллы за пункт б, если пункт а не доказан?

Да. По критериям ФИПИ пункт б) оценивается отдельно: если ты верно нашёл искомую величину, используя утверждение пункта а) как данное, получишь балл за б). Поэтому никогда не бросай задачу целиком из-за неудавшегося доказательства.

Нужно ли доказывать теорему о вписанном угле в решении?

Нет. Школьные теоремы (о вписанном угле, признаки подобия, свойства касательной, теорема Пифагора) используются как известные факты — достаточно сослаться. Доказывать нужно только то, что спрашивают в условии.

Что дальше

• Геометрия 8 класс: четырёхугольники и подобие с разбором
• Площади и объёмы: формулы с выводом и разбором
• Стереометрия ЕГЭ: разбор задач с координатами
• Как оформлять решение задачи, чтобы не снижали баллы
• Типичные ошибки ЕГЭ по математике: разбор по заданиям
• Застрял на доказательстве из своего варианта — спроси в Razbery: там разбирают, откуда берётся каждый шаг.