Стереометрия ЕГЭ: разбор задач с координатами

Задача по стереометрии во второй части ЕГЭ. Куб, две прямые, «найдите угол между ними». Ты смотришь на рисунок, пытаешься мысленно «перенести» одну прямую параллельно к другой, чтобы они пересеклись, не видишь, куда переносить, и через пять минут закрываешь задачу. Три первичных балла ушли, хотя куб — самая простая фигура из возможных.

Стереометрия «на глаз» требует пространственного воображения, а оно есть не у всех и не всегда включается на экзамене. Координатный метод воображение отключает: ты ставишь оси, выписываешь координаты точек, подставляешь в три формулы — и ответ получается арифметикой. Медленнее, чем красивое геометрическое решение, зато надёжно и почти без риска «не увидеть».

В КИМ последних лет задача по стереометрии во второй части идёт под номером 14 (в первой части есть ещё простая задача на объёмы и площади). Актуальную нумерацию и критерии проверяй в демоверсии на fipi.ru. В статье разберём, как вводить координаты без ошибок, три формулы, которые закрывают почти все задачи, и пять задач с полным решением: четыре на кубе и одна на пирамиде.

Когда координаты выгоднее, а когда нет

Координатный метод не универсален. Он выгоден, когда у фигуры есть три взаимно перпендикулярных ребра из одной вершины, и мучителен, когда их нет.

Правило: если задача про куб или параллелепипед — координаты почти всегда быстрее. Если про тетраэдр — ищи геометрический путь.

Как правильно ввести координаты

Половина ошибок в координатном методе — не в формулах, а в самом первом шаге: неверно записанные координаты точки. Схема, которая страхует от этого:

1. Выбери вершину, из которой выходят три перпендикулярных ребра. Для куба ABCDA₁B₁C₁D₁ это любая вершина, обычно берут A.
2. Направь оси по рёбрам. Ось x — вдоль AB, ось y — вдоль AD, ось z — вдоль AA₁. Так основание ABCD лежит в плоскости z = 0, а верхняя грань — в плоскости z = 1.
3. Прими длину ребра за 1, если в условии не задана длина или если ответ — угол (углы не зависят от масштаба). Если нужно расстояние, а ребро задано, бери настоящую длину.
4. Выпиши координаты всех вершин таблицей, не в уме. Для куба с ребром 1 и началом в A:

5. Проверь одну координату на рисунке. Например, C₁ — противоположная A вершина, у неё все три координаты по 1. Если получилось иначе — оси введены неверно.

Середина отрезка — среднее арифметическое координат концов: середина BC₁ — это ((1 + 1)/2; (0 + 1)/2; (0 + 1)/2) = (1; 0,5; 0,5).

Совет: сделай эту таблицу для куба один раз и запомни правило «координата равна 1, если точка лежит на дальней от A грани по этой оси». Тогда координаты любой вершины куба восстанавливаются за секунду без рисунка.

Три формулы, которые нужны

Вектор по двум точкам: из координат конца вычитаем координаты начала. AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

Скалярное произведение векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂): a · b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂. Длина вектора: |a| = √(x₁² + y₁² + z₁²).

Дальше всё держится на трёх формулах:

Модуль в числителе — не украшение. Углы между прямыми и плоскостями в стереометрии по определению не больше 90°, поэтому косинус и синус неотрицательны. Забыл модуль — получил отрицательный косинус и тупой угол в ответе, а это ошибка.

Нормаль к плоскости — вектор, перпендикулярный плоскости. Её коэффициенты — это (A; B; C) из уравнения плоскости. Как найти уравнение плоскости по трём точкам — разберём в задаче 3.

Задача 1. Угол между скрещивающимися прямыми

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямыми AB₁ и BC₁.

Шаг 1. Координаты. Ребро 1, начало в A, таблица выше. A = (0; 0; 0), B₁ = (1; 0; 1), B = (1; 0; 0), C₁ = (1; 1; 1).

Шаг 2. Направляющие векторы. AB₁ = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1). BC₁ = (1 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (0; 1; 1).

Шаг 3. Скалярное произведение и длины. AB₁ · BC₁ = 1·0 + 0·1 + 1·1 = 1. |AB₁| = √(1 + 0 + 1) = √2. |BC₁| = √(0 + 1 + 1) = √2.

Шаг 4. Косинус угла. cos φ = |1| / (√2 · √2) = 1/2.

Шаг 5. Угол. φ = 60°.

Ответ: 60°.

Геометрически: если перенести BC₁ в AD₁, то треугольник AB₁D₁ составлен из трёх диагоналей граней, он равносторонний, и угол между его сторонами 60°. Красиво, но это надо увидеть. Координаты дают тот же ответ без озарения.

Задача 2. Угол между прямой и плоскостью

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между прямой BD₁ и плоскостью ABC.

Шаг 1. Координаты. B = (1; 0; 0), D₁ = (0; 1; 1).

Шаг 2. Направляющий вектор прямой. BD₁ = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (−1; 1; 1).

Шаг 3. Нормаль к плоскости. Плоскость ABC — это основание куба, плоскость z = 0. Её уравнение 0·x + 0·y + 1·z = 0, нормаль n = (0; 0; 1). Для координатных плоскостей нормали известны сразу, ничего вычислять не нужно.

Шаг 4. Синус угла. BD₁ · n = (−1)·0 + 1·0 + 1·1 = 1. |BD₁| = √(1 + 1 + 1) = √3, |n| = 1. sin φ = 1 / √3 = √3/3.

Шаг 5. Ответ. φ = arcsin(√3/3). Если в ответе просят тангенс: угол острый, cos φ = √(1 − 1/3) = √(2/3), tg φ = sin φ / cos φ = (1/√3) / (√2/√3) = 1/√2 = √2/2.

Ответ: arcsin(√3/3) (или arctg(√2/2)).

Проверка геометрией: проекция D₁ на основание — точка D, значит, угол между BD₁ и плоскостью — это угол D₁BD в прямоугольном треугольнике с катетами DD₁ = 1 и BD = √2. tg = 1/√2. Сходится.

Ошибка: для угла между прямой и плоскостью подставить формулу с косинусом. Косинус даёт угол между прямой и нормалью, а не плоскостью. Эти углы дополняют друг друга до 90°, и ответ получится неверный. Запомни: прямая–прямая и плоскость–плоскость — косинус, прямая–плоскость — синус.

Задача 3. Угол между плоскостями

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите угол между плоскостями AB₁C и ABC.

Шаг 1. Нормаль к плоскости ABC. Это основание, n₂ = (0; 0; 1).

Шаг 2. Уравнение плоскости AB₁C. Плоскость задаётся уравнением Ax + By + Cz + D = 0. Подставим три точки:

• A = (0; 0; 0): D = 0.
• B₁ = (1; 0; 1): A + C = 0, то есть C = −A.
• C = (1; 1; 0): A + B = 0, то есть B = −A.

Возьмём A = −1 (любое ненулевое значение даёт ту же плоскость). Тогда B = 1, C = 1, D = 0. Уравнение: −x + y + z = 0.

Шаг 3. Проверить уравнение. Подставь все три точки: A — 0 = 0; B₁ — −1 + 0 + 1 = 0; C — −1 + 1 + 0 = 0. Все верно. Эта проверка занимает 10 секунд и ловит большинство ошибок метода.

Шаг 4. Нормаль к AB₁C. n₁ = (−1; 1; 1).

Шаг 5. Косинус угла. n₁ · n₂ = 0 + 0 + 1 = 1. |n₁| = √3, |n₂| = 1. cos φ = 1 / √3 = √3/3.

Ответ: arccos(√3/3).

Проверка: плоскость AB₁C пересекает основание по диагонали AC. Точка B₁ проецируется в B, расстояние от B до AC равно половине диагонали BD, то есть √2/2. Тангенс двугранного угла равен BB₁ / (√2/2) = 1 / (√2/2) = √2. Тогда cos φ = 1 / √(1 + 2) = 1/√3. Сходится.

Заметь, что нормаль (−1; 1; 1) — это ровно вектор BD₁ из задачи 2. Значит, диагональ куба BD₁ перпендикулярна плоскости AB₁C. Это известный факт, и он пригодится в следующей задаче.

Задача 4. Расстояние от точки до плоскости

Условие. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 1 найдите расстояние от точки D₁ до плоскости AB₁C.

Шаг 1. Уравнение плоскости. Уже найдено в задаче 3: −x + y + z = 0, то есть A = −1, B = 1, C = 1, D = 0.

Шаг 2. Координаты точки. D₁ = (0; 1; 1).

Шаг 3. Формула расстояния. d = |A·x₀ + B·y₀ + C·z₀ + D| / √(A² + B² + C²) = |−1·0 + 1·1 + 1·1 + 0| / √(1 + 1 + 1) = 2 / √3.

Шаг 4. Избавиться от иррациональности. 2/√3 = 2√3/3.

Ответ: 2√3/3.

Проверка: диагональ BD₁ длиной √3 перпендикулярна плоскости AB₁C и параллельной ей плоскости A₁C₁D; эти две плоскости делят диагональ на три равные части по √3/3. Расстояние от D₁ до плоскости AB₁C — две такие части, 2√3/3. Сходится.

Важно: если бы ребро куба было равно 3, а не 1, то все координаты умножились бы на 3, и расстояние получилось бы 2√3. Углы от масштаба не зависят, расстояния зависят — следи за условием.

Задача 5. Двугранный угол в пирамиде

Условие. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD сторона основания равна 2, высота равна 2. Найдите угол между плоскостью боковой грани SBC и плоскостью основания.

Шаг 1. Ввести координаты. Для пирамиды удобно взять начало в центре основания O, оси x и y параллельно сторонам основания, ось z — по высоте. Тогда сторона 2 даёт координаты вершин ±1: A = (−1; −1; 0), B = (1; −1; 0), C = (1; 1; 0), D = (−1; 1; 0), S = (0; 0; 2).

Проверка: AB = 2 (разность по x), высота SO = 2. Верно.

Шаг 2. Уравнение плоскости SBC. Подставляем точки в Ax + By + Cz + D = 0:

• B = (1; −1; 0): A − B + D = 0.
• C = (1; 1; 0): A + B + D = 0.
• S = (0; 0; 2): 2C + D = 0.

Вычтем первое уравнение из второго: 2B = 0, B = 0. Тогда из второго D = −A. Из третьего C = −D/2 = A/2. Возьмём A = 2: B = 0, C = 1, D = −2. Уравнение: 2x + z − 2 = 0.

Шаг 3. Проверить. B: 2 + 0 − 2 = 0. C: 2 + 0 − 2 = 0. S: 0 + 2 − 2 = 0. Все три точки лежат в плоскости.

Шаг 4. Нормали. n₁ = (2; 0; 1) для SBC, n₂ = (0; 0; 1) для основания.

Шаг 5. Косинус угла. n₁ · n₂ = 1. |n₁| = √(4 + 0 + 1) = √5, |n₂| = 1. cos φ = 1/√5 = √5/5.

Шаг 6. Перевести в тангенс, если удобнее. sin φ = √(1 − 1/5) = 2/√5, tg φ = 2.

Ответ: arctg 2 (или arccos(√5/5)).

Проверка: двугранный угол при основании измеряется углом между апофемой и её проекцией. Проекция апофемы — отрезок от центра O до середины BC длиной 1, высота 2, tg φ = 2/1 = 2. Сходится.

Как оформлять координатное решение

Эксперт должен видеть, что ты понимаешь, что делаешь, а не просто «подставил в формулу». Рабочий шаблон:

1. Введение системы координат одной фразой: «Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A, ось x направим вдоль AB, ось y — вдоль AD, ось z — вдоль AA₁. Примем ребро куба за 1».
2. Координаты нужных точек списком.
3. Векторы и уравнения плоскостей с краткой проверкой подстановкой.
4. Формула в общем виде, затем подстановка.
5. Ответ в форме, которую просит условие: угол, синус, тангенс или расстояние в заданных единицах.

Пример: ученик решил задачу 2 верно, но написал ответ «35°», округлив арксинус на калькуляторе. Балл снят: ответ в стереометрии даётся точно, через arcsin, arctg или в виде √3/3, если спрашивают синус. Приближённые значения пишут только тогда, когда это прямо разрешено условием.

Типичные ошибки

• Неверные координаты вершины. Самая частая и самая обидная ошибка. Лечится таблицей координат и проверкой противоположной вершины.
• Вектор «из конца в начало». Для угла это не страшно (модуль спасает), а для нахождения точки по вектору — фатально. Всегда вычитай начало из конца.
• Косинус вместо синуса для угла прямая–плоскость. Получается угол с нормалью. Проверяй: прямая–плоскость — синус.
• Потерянный модуль. Отрицательный косинус даёт тупой угол; в стереометрии углы между прямыми и плоскостями не больше 90°.
• Уравнение плоскости без проверки. Три подстановки занимают 10 секунд и ловят арифметику.
• Ребро принято за 1, а спрашивают расстояние. Углы от масштаба не зависят, расстояния — зависят. Если в условии ребро 4, все координаты умножаются на 4.
• Ответ приближённым числом. arcsin(√3/3), а не 35,26°.
• Ответ через косинус, когда просили тангенс. Читай последнюю строку условия перед тем, как писать ответ.

Частые вопросы

Что такое координатный метод в стереометрии?

Это способ решать задачи на углы и расстояния через координаты точек и формулы векторной алгебры вместо построений на рисунке. Ты вводишь оси по рёбрам фигуры, записываешь координаты нужных точек, находишь векторы и нормали, подставляешь в одну из трёх формул: косинус угла между векторами, синус угла между вектором и нормалью, расстояние от точки до плоскости.

Как найти нормаль к плоскости по трём точкам?

Записать общее уравнение плоскости Ax + By + Cz + D = 0, подставить координаты трёх точек и решить систему из трёх уравнений относительно A, B, C, D. Одну из неизвестных можно взять произвольно (например, A = 1 или A = −1), потому что уравнение плоскости определено с точностью до множителя. Нормаль — вектор (A; B; C). После этого обязательно подставь все три точки в найденное уравнение и убедись, что получаются нули.

Чем отличается угол между прямой и плоскостью от угла между плоскостями?

Формулой. Для двух плоскостей берётся косинус угла между их нормалями. Для прямой и плоскости — синус угла между направляющим вектором прямой и нормалью, потому что нормаль перпендикулярна плоскости, и угол с ней дополняет искомый до 90°. В обоих случаях в числителе стоит модуль, чтобы ответ был не больше 90°.

Всегда ли можно решать стереометрию ЕГЭ координатами?

Формально да, но не всегда выгодно. На кубе, параллелепипеде и правильной четырёхугольной пирамиде координаты почти всегда быстрее и надёжнее. На правильном тетраэдре, наклонных призмах и фигурах с «неудобными» углами координаты вершин сами становятся отдельной задачей — там лучше искать геометрическое решение или комбинировать: найти нужные длины геометрически, а угол — координатами.

Сколько баллов даёт задача по стереометрии во второй части ЕГЭ?

Три первичных балла: обычно один за пункт а) (доказательство или построение) и два за пункт б) (вычисление). Если пункт а) не получился, пункт б) всё равно можно решать, опираясь на утверждение а) как на данное. Точные критерии текущего года смотри на fipi.ru.

Что дальше

• Векторы: разбор задач по геометрии и физике
• Планиметрия ЕГЭ: разбор задач 1 и 16
• Площади и объёмы: формулы с выводом и разбором
• Как оформлять решение задачи, чтобы не снижали баллы
• Типичные ошибки ЕГЭ по математике: разбор по заданиям
• Не сходится своя задача — выложи её в Razbery с координатами, которые ввёл: там покажут, на каком шаге ушла ошибка.