Геометрия 8 класс: четырёхугольники и подобие с разбором

В 8 классе геометрия резко расширяется: к треугольникам добавляются параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция, потом площади, теорема Пифагора и подобие. Кажется, что это десять разных тем, и в каждой свои формулы. Многие сдаются именно здесь — «слишком много всего».

Но если посмотреть внимательно, весь 8 класс — это два вопроса: «какие свойства у этой фигуры?» и «какие треугольники здесь подобны?». Ниже — пять типовых задач, разобранных полностью, с обоснованием каждой строки. После них ты увидишь, что новые фигуры решаются старыми методами: их просто нужно разрезать на треугольники.

Что нужно знать про четырёхугольники

Подобие: треугольники подобны, если у них два равных угла (первый признак). Отношение сторон подобных треугольников — коэффициент k; периметры относятся как k, площади — как k².

Задача 1. Углы параллелограмма

Условие. Один из углов параллелограмма в 3 раза больше другого. Найдите углы параллелограмма.

Дано: ABCD — параллелограмм, ∠B = 3∠A. Найти: все углы.

Решение.

1. В параллелограмме соседние углы (прилежащие к одной стороне) в сумме дают 180°, потому что стороны AD и BC параллельны, а AB — секущая. Значит, ∠A + ∠B = 180°.
2. Пусть ∠A = x, тогда ∠B = 3x. x + 3x = 180°, 4x = 180°, x = 45°.
3. ∠A = 45°, ∠B = 135°.
4. Противоположные углы параллелограмма равны: ∠C = ∠A = 45°, ∠D = ∠B = 135°.

Проверка. Сумма углов четырёхугольника 360°: 45 + 135 + 45 + 135 = 360. Верно.

Ответ: 45°, 135°, 45°, 135°.

Обрати внимание: «один в 3 раза больше другого» относится к соседним углам, потому что противоположные равны и не могут отличаться в 3 раза.

Задача 2. Ромб: диагонали, сторона, площадь

Условие. Диагонали ромба равны 12 см и 16 см. Найдите сторону ромба, его периметр и площадь.

Дано: ABCD — ромб, AC = 12, BD = 16. Найти: сторону, P, S.

Решение.

1. Диагонали ромба перпендикулярны и точкой пересечения O делятся пополам: AO = 12 / 2 = 6, BO = 16 / 2 = 8, ∠AOB = 90°.
2. Треугольник AOB — прямоугольный с катетами 6 и 8. По теореме Пифагора: AB² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, AB = 10 см.
3. Периметр: все стороны ромба равны, P = 4 · 10 = 40 см.
4. Площадь ромба — половина произведения диагоналей: S = 12 · 16 / 2 = 96 см².

Проверка площади другим способом. Ромб состоит из четырёх равных прямоугольных треугольников с катетами 6 и 8. Площадь одного: 6 · 8 / 2 = 24. Четырёх: 96. Сходится.

Ответ: 10 см; 40 см; 96 см².

Совет: тройка 6–8–10 — это увеличенная в два раза «египетская» тройка 3–4–5. Запомни ещё 5–12–13 и 8–15–17: в задачах они встречаются постоянно, и корень извлекать не придётся.

Задача 3. Площадь трапеции

Условие. Основания трапеции равны 10 см и 18 см, высота 4 см. Найдите среднюю линию и площадь трапеции.

Дано: ABCD — трапеция, BC = 10, AD = 18, h = 4. Найти: среднюю линию m, S.

Решение.

1. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (10 + 18) / 2 = 14 см.
2. Площадь трапеции — произведение средней линии на высоту (или полусуммы оснований на высоту, это то же самое): S = 14 · 4 = 56 см².

Проверка. Разрежем трапецию на прямоугольник и два треугольника — или просто прикинем: площадь должна быть между площадью прямоугольника со стороной 10 (10 · 4 = 40) и со стороной 18 (18 · 4 = 72). 56 — между. Логично.

Ответ: 14 см; 56 см².

Если в задаче высота не дана, а даны боковая сторона и угол — высоту нужно найти из прямоугольного треугольника, который получается, если опустить перпендикуляр из вершины верхнего основания. Это стандартный приём: трапеция = прямоугольник + два треугольника.

Задача 4. Подобные треугольники

Условие. Стороны треугольника равны 6, 8 и 10 см. Наибольшая сторона подобного ему треугольника равна 25 см. Найдите остальные стороны, периметр второго треугольника и отношение площадей.

Дано: △ABC ∼ △A₁B₁C₁, AB = 6, BC = 8, AC = 10, A₁C₁ = 25. Найти: A₁B₁, B₁C₁, P₁, S₁ / S.

Решение.

1. В подобных треугольниках соответственные стороны пропорциональны. Наибольшей стороне 10 соответствует наибольшая сторона 25. Коэффициент подобия: k = 25 / 10 = 2,5.
2. Остальные стороны: A₁B₁ = 6 · 2,5 = 15 см, B₁C₁ = 8 · 2,5 = 20 см.
3. Периметр первого: 6 + 8 + 10 = 24. Периметры относятся как k: P₁ = 24 · 2,5 = 60 см. Проверка: 15 + 20 + 25 = 60. Сходится.
4. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента: S₁ / S = k² = 2,5² = 6,25.

Дополнительная проверка. Треугольник 6–8–10 прямоугольный (36 + 64 = 100), значит, и 15–20–25 прямоугольный: 225 + 400 = 625 = 25². Верно. Площади: 6 · 8 / 2 = 24 и 15 · 20 / 2 = 150; 150 / 24 = 6,25. Сходится.

Ответ: 15 см, 20 см; 60 см; 6,25.

Ошибка: считать, что площади относятся как k, а не как k². Если стороны увеличились в 2,5 раза, площадь выросла в 2,5 · 2,5 = 6,25 раза — и в длину, и в ширину.

Задача 5. Подобие в задаче про тень

Условие. Вертикальный столб высотой 3 м отбрасывает тень длиной 4 м. В тот же момент дерево рядом отбрасывает тень 12 м. Какова высота дерева?

Дано: столб h₁ = 3 м, тень l₁ = 4 м; тень дерева l₂ = 12 м. Найти: h₂.

Решение.

1. Столб, его тень и солнечный луч образуют прямоугольный треугольник. То же — дерево. Солнечные лучи параллельны, поэтому углы между лучом и землёй у обоих треугольников равны.
2. Два прямоугольных треугольника с равным острым углом подобны по первому признаку (два угла: прямой и общий острый).
3. Из подобия: h₂ / h₁ = l₂ / l₁, то есть h₂ / 3 = 12 / 4 = 3.
4. h₂ = 3 · 3 = 9 м.

Проверка. Тень дерева в 3 раза длиннее — и дерево в 3 раза выше. Пропорция сохранена.

Ответ: 9 м.

Эта задача есть в ОГЭ почти каждый год в разных декорациях: фонарь и человек, лестница и стена, шест и тень. Подход один: найти два треугольника, доказать подобие через два угла, записать пропорцию.

Как найти подобные треугольники на чертеже

Три ситуации, где подобие есть почти всегда:

1. Прямая параллельна стороне треугольника. Она отсекает маленький треугольник, подобный большому (углы при параллельных прямых равны). Пример: DE ∥ AC, BD = 8, DA = 4, DE = 6 — тогда BD / BA = DE / AC, 8 / 12 = 6 / AC, AC = 9.
2. Две прямые пересекаются, и через концы проведены параллельные. Вертикальные углы равны, накрест лежащие равны — треугольники подобны.
3. Высота в прямоугольном треугольнике делит его на два треугольника, подобных исходному и друг другу.

Порядок действий: найти два равных угла → записать «△… ∼ △… по двум углам» → записать пропорцию сторон, следя за порядком вершин → решить пропорцию.

Пример: Рома, 8 класс, в задаче с параллельной прямой записал пропорцию 8 / 4 = 6 / AC и получил AC = 3 — меньше, чем DE, хотя AC — сторона большого треугольника. Прикидка «большой треугольник — большие стороны» показала ошибку: в пропорции нужна вся сторона BA = 12, а не отрезок DA = 4.

Типичные ошибки

• Применять свойство не той фигуры. «Диагонали равны» — только у прямоугольника и квадрата, не у ромба и не у параллелограмма вообще.
• Путать соседние и противоположные углы параллелограмма. Соседние — в сумме 180°, противоположные — равны.
• Брать в пропорцию часть стороны вместо всей. При параллельной прямой в отношении стоят целые стороны большого треугольника.
• Относить площади как k, а не k².
• Не проверять порядок вершин в записи подобия. △ABC ∼ △A₁B₁C₁ означает, что A соответствует A₁, и пропорция строится по этому порядку.
• Забывать делить диагонали пополам в ромбе перед Пифагором.
• Считать площадь трапеции как основание на высоту. Нужна полусумма оснований.

Частые вопросы

Как решать задачи на параллелограмм?

Выпиши свойства: противоположные стороны и углы равны, соседние углы в сумме 180°, диагонали делятся пополам. Почти любая задача на углы параллелограмма — это уравнение из «сумма соседних 180°». Задачи на стороны и диагонали — разрезать параллелограмм диагоналями на треугольники и работать с ними.

Как найти сторону ромба по диагоналям?

Диагонали ромба перпендикулярны и делятся пополам, поэтому половины диагоналей — катеты прямоугольного треугольника, а сторона ромба — его гипотенуза. Сторона равна корню из суммы квадратов половин диагоналей: для диагоналей 12 и 16 — √(6² + 8²) = 10.

Как доказать, что треугольники подобны?

Найди два равных угла — это первый признак подобия, самый частый. Равные углы возникают при параллельных прямых (накрест лежащие, соответственные), при пересечении прямых (вертикальные), при общем угле двух треугольников и в прямоугольных треугольниках (прямые углы равны). Запиши: «△ABC ∼ △DEF по двум углам (∠A = ∠D, ∠B = ∠E)».

Как относятся площади подобных треугольников?

Как квадрат коэффициента подобия. Если стороны одного треугольника в 3 раза больше сторон другого, площадь больше в 9 раз. Периметры при этом относятся как сам коэффициент — в 3 раза.

Как найти высоту трапеции, если она не дана?

Опусти перпендикуляр из вершины меньшего основания на большее — получится прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза — боковая сторона трапеции, а один катет — высота. Второй катет находится из разности оснований (для равнобедренной трапеции — половина разности). Дальше — Пифагор или тригонометрия, если дан угол.

Что дальше

• Геометрия 7 класс: задачи на треугольники
• Площади и объёмы с разбором
• Планиметрия ЕГЭ с разбором
• Как учить теоремы
• Не находишь подобные треугольники — опиши чертёж и спроси: Razbery