Системы уравнений: три метода с разбором

Система уравнений — это когда одной буквы стало мало. В задаче два неизвестных, например цена ручки и цена тетради, и два факта о них. Из одного факта две цены не найти, из двух — можно. Скобка слева от уравнений (фигурная) — это просто напоминание: «оба условия должны выполняться одновременно».

Методов решения три, и школьники часто применяют один — тот, который показали первым, — даже когда он неудобен. В результате подстановка превращается в дроби на полстраницы, хотя сложение решило бы за две строки.

В статье: как устроена система, три метода с правилом выбора, пять задач с полным решением — от системы из 7 класса до нелинейной из ОГЭ и текстовой задачи.

Что значит «решить систему»

Решение системы с двумя неизвестными — это пара чисел (x; y), которая превращает оба уравнения в верные равенства. Не одно число, а пара. Ответ записывается как (2; −3) или x = 2, y = −3.

Линейная система может иметь:

Каждое линейное уравнение ax + by = c — это прямая на плоскости. Решить систему — найти, где прямые пересекаются. Помни эту картинку: она объясняет и странные ответы, и графический метод.

Метод подстановки

Идея: из одного уравнения выразить одну переменную, подставить во второе — останется уравнение с одной буквой.

1. Выбери уравнение и переменную, которую проще выразить (коэффициент 1 или −1).
2. Вырази её: y = ….
3. Подставь это выражение во второе уравнение вместо y.
4. Реши уравнение с одним x.
5. Найденный x подставь в выражение из шага 2, найди y.
6. Запиши пару, проверь в обоих уравнениях.

Когда выбирать: если в системе есть переменная с коэффициентом 1 или уже выраженная. И для нелинейных систем — там подстановка почти всегда единственный вариант.

Метод сложения

Идея: сложить два уравнения так, чтобы одна переменная исчезла.

1. Посмотри на коэффициенты при одной переменной. Нужно, чтобы они стали противоположными (например, 3y и −3y).
2. Если не противоположные — умножь одно или оба уравнения на подходящие числа. Умножать надо всё уравнение, включая правую часть.
3. Сложи уравнения почленно: левую с левой, правую с правой. Переменная исчезнет.
4. Реши, что осталось.
5. Подставь найденное в любое исходное уравнение, найди вторую переменную.

Когда выбирать: если коэффициенты при какой-то переменной уже противоположны или одинаковы (тогда вычитай), или легко делаются такими. При коэффициентах вроде 2x и 3y в обоих уравнениях сложение почти всегда быстрее подстановки.

Графический метод

Построй обе прямые на координатной плоскости, найди точку пересечения — это и есть решение.

Минус: точность. Если пересечение в точке (2,37; −1,08), по клеточкам его не найти. Поэтому графический метод используют для оценки количества решений и для нелинейных систем, где нужно понять, сколько раз парабола пересекает прямую. В ОГЭ он встречается в задании «сколько решений имеет система» — и там надо не решать, а рисовать.

Совет: правило выбора за 3 секунды. Есть переменная с коэффициентом 1? Подстановка. Коэффициенты при одной переменной одинаковые или противоположные? Сложение. Есть квадрат или произведение xy? Подстановка. Спрашивают «сколько решений»? График.

Задача 1. Подстановка (7 класс)

Условие. Решить систему: y = 2x − 1 и 3x + y = 9.

Шаг 1. Первое уравнение уже выражает y. Подставляем во второе вместо y выражение 2x − 1: 3x + (2x − 1) = 9.

Шаг 2. 5x − 1 = 9, 5x = 10, x = 2.

Шаг 3. y = 2 · 2 − 1 = 3.

Шаг 4. Проверка во втором: 3 · 2 + 3 = 9. Верно.

Ответ: (2; 3).

Задача 2. Сложение с подбором множителя

Условие. Решить систему: 2x + 3y = 8 и 3x − 2y = −1.

Выражать неудобно: ни одного коэффициента 1. Значит сложение.

Шаг 1. Уберём y. Коэффициенты 3 и −2. Наименьшее общее кратное — 6. Умножаем первое уравнение на 2, второе на 3:

• 4x + 6y = 16,
• 9x − 6y = −3.

Шаг 2. Складываем: 13x = 13, x = 1.

Шаг 3. Подставляем в первое исходное: 2 · 1 + 3y = 8, 3y = 6, y = 2.

Шаг 4. Проверка во втором: 3 · 1 − 2 · 2 = 3 − 4 = −1. Верно.

Ответ: (1; 2).

Ошибка: умножить только левую часть. 2x + 3y = 8 умножили на 2 и написали 4x + 6y = 8. Правая часть тоже умножается: = 16.

Задача 3. Система без решений — как распознать

Условие. Решить систему: x − 2y = 3 и 2x − 4y = 5.

Шаг 1. Пробуем сложение: умножим первое на −2: −2x + 4y = −6.

Шаг 2. Складываем со вторым: 0x + 0y = −1, то есть 0 = −1.

Шаг 3. Это ложное равенство при любых x и y. Значит, решений нет.

Ответ: решений нет.

Геометрически: у обоих уравнений одинаковый наклон (y = x/2 − 3/2 и y = x/2 − 5/4), прямые параллельны, не пересекаются. Если бы второе было 2x − 4y = 6, получилось бы 0 = 0 — прямые совпадают, бесконечно много решений.

Задача 4. Нелинейная система (ОГЭ, 9 класс)

Условие. Решить систему: x + y = 5 и x² − y = 7.

Шаг 1. Из первого выражаем: y = 5 − x. (Из второго тоже можно, y = x² − 7, но линейное проще.)

Шаг 2. Подставляем во второе: x² − (5 − x) = 7, x² − 5 + x = 7, x² + x − 12 = 0.

Шаг 3. Квадратное уравнение. D = 1 + 48 = 49, √D = 7. x = (−1 ± 7)/2: x₁ = 3, x₂ = −4.

Шаг 4. Для каждого x находим свой y:

• x = 3: y = 5 − 3 = 2;
• x = −4: y = 5 − (−4) = 9.

Шаг 5. Проверка второго уравнения: 9 − 2 = 7 ✓; 16 − 9 = 7 ✓.

Ответ: (3; 2), (−4; 9).

Два решения — потому что прямая пересекает параболу в двух точках. Типичная ошибка — найти два x, а y посчитать только для одного, или, что хуже, записать ответ как «x = 3; −4, y = 2; 9» без указания пар. Пары важны: (3; 9) — не решение.

Задача 5. Текстовая задача через систему

Условие. За 3 ручки и 2 тетради заплатили 130 рублей, а за 2 ручки и 5 тетрадей — 160 рублей. Сколько стоит ручка и сколько тетрадь?

Шаг 1. Обозначаем: ручка x руб., тетрадь y руб.

Шаг 2. Переводим условия в уравнения:

• 3x + 2y = 130,
• 2x + 5y = 160.

Шаг 3. Метод сложения. Убираем x: первое умножаем на 2, второе на −3:

• 6x + 4y = 260,
• −6x − 15y = −480.

Шаг 4. Складываем: −11y = −220, y = 20.

Шаг 5. Подставляем в первое: 3x + 40 = 130, 3x = 90, x = 30.

Шаг 6. Проверка по второму условию: 2 · 30 + 5 · 20 = 60 + 100 = 160. Верно.

Ответ: ручка 30 руб., тетрадь 20 руб.

Пример: типовая ошибка в таких задачах — перепутать, что чем обозначил. Ученик написал x — ручка, потом в уравнении поставил 2 ручки как 2y. Записывай обозначения над системой и сверяйся, пока составляешь.

Как оформлять решение системы

1. Пронумеруй уравнения или поставь фигурную скобку — проверяющий должен видеть, что это система.
2. Напиши, какой метод применяешь: «выразим y из (1)» или «умножим (2) на 3 и сложим».
3. Каждое преобразование — на новой строке. Не пиши в одну строку три действия.
4. Ответ — парой (x; y) или в виде x = …, y = …. Для нескольких решений — каждую пару отдельно.
5. Сделай проверку хотя бы в уме: подставь пару в то уравнение, которое НЕ использовал для нахождения второй переменной.

Типичные ошибки

Умножают не всё уравнение. Умножил левую часть на 2, правую забыл.

Теряют знак при вычитании уравнений. (3x − 2y) − (3x + 4y) = −6y, а не 2y. Вычитая, меняй все знаки второго уравнения.

Находят x и забывают y. Решение системы — пара. Ответ x = 2 — неполный.

Путают пары в нелинейных системах. Каждому x — свой y, посчитанный через него.

Подставляют в то же уравнение, откуда выражали. Получается 0 = 0, и человек делает вывод «бесконечно много решений». Нет — просто подставил не туда. Подставляй в другое уравнение.

Не проверяют. Арифметическая ошибка в первой строке даёт неверный ответ, который выглядит правдоподобно. Проверка занимает 20 секунд.

Частые вопросы

Как решать систему уравнений методом подстановки?

Вырази одну переменную из одного уравнения (лучше ту, у которой коэффициент 1), подставь полученное выражение во второе уравнение вместо этой переменной. Реши уравнение с одной неизвестной, затем найди вторую по выражению. Запиши ответ парой и проверь.

Как решать систему методом сложения?

Сделай коэффициенты при одной переменной противоположными, умножив уравнения на подходящие числа (всё уравнение, включая правую часть). Сложи уравнения — переменная сократится. Реши оставшееся, найденное подставь в любое исходное уравнение.

Какой метод лучше — подстановка или сложение?

Тот, который даёт меньше дробей. Есть переменная с коэффициентом 1 — подстановка. Коэффициенты «круглые» и легко делаются противоположными — сложение. В нелинейных системах (с квадратами) обычно подстановка из линейного уравнения.

Что значит «система не имеет решений»?

При решении получается ложное равенство вроде 0 = 5. Геометрически прямые параллельны и не пересекаются. Если получается 0 = 0 — прямые совпадают, решений бесконечно много, и ответ записывают как «все пары (x; y), удовлетворяющие одному из уравнений».

Почему у нелинейной системы два решения?

Потому что прямая может пересекать параболу (или окружность) в двух точках. Каждая точка — пара (x; y). После подстановки получается квадратное уравнение с двумя корнями, и для каждого корня нужно найти свой y.

Что дальше

• Разбор уравнений: линейные квадратные и с параметром — чтобы решать системы, надо уверенно решать одиночные уравнения.
• Как решать текстовые задачи: схема таблица уравнение — как переводить «3 ручки и 2 тетради» в систему.
• Функции и графики: разбор от линейной до квадратичной — графический метод и почему прямые параллельны.
• Алгебра 9 класс: прогрессии и функции с разбором — нелинейные системы в программе 9 класса.
• Своя система не решается — задай её в Razbery: покажут, какой метод выбрать и где потерялся знак.