Алгебра 9 класс: прогрессии и функции с разбором

Девятый класс — год, когда алгебра перестаёт быть «посчитай» и становится «пойми закономерность». Прогрессии выглядят как набор формул с индексами aₙ, Sₙ, bₙ, а функции — как параболы, которые надо зачем-то рисовать. И всё это будет в ОГЭ: задание на прогрессию есть почти в каждом варианте, задание на график — тоже.

Хорошая новость: тем всего две, и обе логичные. Прогрессия — это просто последовательность с правилом «каждый следующий получается из предыдущего одним и тем же действием». Функция — правило «взял число, получил число». Если понять эти две идеи, формулы перестают быть набором букв.

Ниже — объяснение обеих тем и семь задач с разбором каждого шага. Именно так отвечают на Razbery: не «ответ 510», а почему 510.

Арифметическая прогрессия: что это

Арифметическая прогрессия — последовательность, в которой каждый следующий член больше предыдущего на одно и то же число d. Это число называется разностью.

Примеры: 3, 7, 11, 15, … (d = 4); 10, 8, 6, 4, … (d = −2); 5, 5, 5, … (d = 0).

Обозначения: a₁ — первый член, aₙ — n-й член, d — разность, Sₙ — сумма первых n членов.

Откуда формула n-го члена: чтобы дойти от a₁ до aₙ, нужно сделать n − 1 шагов по d. Не n шагов — на этом ловятся все. От первого члена до десятого — девять шагов.

Откуда формула суммы: складываем первый с последним, второй с предпоследним — каждая такая пара даёт одно и то же число a₁ + aₙ. Пар — n / 2. Этот приём приписывают маленькому Гауссу, которого попросили сложить числа от 1 до 100: (1 + 100) · 100 / 2 = 5050.

Задача 1. Найти член и сумму

Условие: a₁ = 3, d = 4. Найди a₁₀ и S₁₀.

Шаг 1. Десятый член: a₁₀ = a₁ + d(10 − 1) = 3 + 4 · 9 = 3 + 36 = 39.

Шаг 2. Сумма первых десяти: S₁₀ = (a₁ + a₁₀) · 10 / 2 = (3 + 39) · 5 = 42 · 5 = 210.

Проверка: выпишем члены: 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39. Десятый — 39 ✓. Сумма: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 = 55, 23 + 27 + 31 + 35 + 39 = 155, итого 210 ✓.

Ответ: a₁₀ = 39, S₁₀ = 210.

Задача 2. Найти разность по двум членам

Условие: в арифметической прогрессии a₃ = 10, a₇ = 22. Найди d и a₁.

Шаг 1. От третьего члена до седьмого — 7 − 3 = 4 шага по d. Значит a₇ = a₃ + 4d.

Шаг 2. 22 = 10 + 4d, 4d = 12, d = 3.

Шаг 3. От первого до третьего — 2 шага: a₃ = a₁ + 2d, 10 = a₁ + 6, a₁ = 4.

Проверка: 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22 — третий член 10, седьмой 22 ✓.

Ответ: d = 3, a₁ = 4.

Совет: не обязательно писать систему из двух уравнений с a₁. Между любыми двумя членами aₘ и aₙ ровно n − m шагов: aₙ = aₘ + d(n − m). Это экономит минуту на ОГЭ.

Задача 3. Текстовая задача на прогрессию

Условие: в первом ряду амфитеатра 20 мест, в каждом следующем на 2 больше. Всего 15 рядов. Сколько мест в последнем ряду и во всём амфитеатре?

Шаг 1. Это арифметическая прогрессия: a₁ = 20, d = 2, n = 15.

Шаг 2. Последний ряд: a₁₅ = 20 + 2 · 14 = 20 + 28 = 48.

Шаг 3. Всего мест: S₁₅ = (20 + 48) · 15 / 2 = 68 · 15 / 2 = 34 · 15 = 510.

Ответ: 48 мест в последнем ряду, 510 мест всего.

Геометрическая прогрессия: что это

Геометрическая прогрессия — последовательность, где каждый следующий член получается умножением предыдущего на одно и то же число q (знаменатель).

Примеры: 2, 6, 18, 54, … (q = 3); 100, 50, 25, 12,5, … (q = 1/2); 1, −2, 4, −8, … (q = −2).

Логика та же, что в арифметической: от b₁ до bₙ делается n − 1 умножений, поэтому в степени стоит n − 1.

Задача 4. Член и сумма геометрической прогрессии

Условие: b₁ = 2, q = 3. Найди b₅ и S₅.

Шаг 1. b₅ = b₁ · q⁴ = 2 · 3⁴ = 2 · 81 = 162.

Шаг 2. S₅ = b₁(q⁵ − 1) / (q − 1) = 2 · (243 − 1) / (3 − 1) = 2 · 242 / 2 = 242.

Проверка: члены 2, 6, 18, 54, 162. Сумма: 2 + 6 = 8, + 18 = 26, + 54 = 80, + 162 = 242 ✓.

Ответ: b₅ = 162, S₅ = 242.

Задача 5. Бесконечная убывающая прогрессия

Условие: найди сумму 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + …

Шаг 1. b₁ = 8, q = 4 / 8 = 1/2. Так как |q| < 1, прогрессия убывающая, сумма конечна.

Шаг 2. S = b₁ / (1 − q) = 8 / (1 − 1/2) = 8 / (1/2) = 16.

Смысл: сколько бы слагаемых ты ни брал, сумма подходит к 16, но не переваливает. Проверь: 8 + 4 + 2 + 1 + 0,5 + 0,25 = 15,75 — уже почти 16.

Ответ: 16.

Ошибка: применять формулу бесконечной суммы при q ≥ 1. Для 2 + 6 + 18 + … сумма бесконечна, и формула b₁ / (1 − q) даст бессмысленное отрицательное число.

Как отличить прогрессии друг от друга

Дана последовательность — сначала пойми, какая она. Вычти соседние члены: если разности одинаковые, арифметическая. Раздели соседние: если частные одинаковые, геометрическая.

Квадратичная функция и парабола

Функция y = ax² + bx + c (при a ≠ 0) называется квадратичной, её график — парабола. Всё, что нужно знать для построения:

1. Направление ветвей. a > 0 — ветви вверх (улыбка), a < 0 — вниз (грусть).
2. Вершина. Абсцисса x₀ = −b / (2a), ордината — подставить x₀ в функцию.
3. Нули функции — решить ax² + bx + c = 0. Это точки, где парабола пересекает ось x.
4. Пересечение с осью y — точка (0; c).
5. Симметрия. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой x = x₀.

Задача 6. Построить параболу

Условие: построй график y = x² − 4x + 3, найди наименьшее значение функции.

Шаг 1. a = 1 > 0, ветви вверх.

Шаг 2. Вершина: x₀ = −(−4) / (2 · 1) = 2. y₀ = 2² − 4 · 2 + 3 = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина (2; −1).

Шаг 3. Нули: x² − 4x + 3 = 0. По Виете: сумма 4, произведение 3 — корни 1 и 3. Парабола пересекает ось x в точках (1; 0) и (3; 0).

Шаг 4. С осью y: (0; 3). По симметрии относительно x = 2 точка (4; 3) тоже на графике.

Шаг 5. Наименьшее значение — в вершине, так как ветви вверх: y = −1.

Таблица точек для построения:

Ответ: наименьшее значение −1 при x = 2.

Задача 7. Задача из ОГЭ на прогрессию

Условие: дана арифметическая прогрессия −7, −4, −1, …. Найди сумму первых двадцати членов.

Шаг 1. a₁ = −7, d = −4 − (−7) = 3.

Шаг 2. a₂₀ = −7 + 3 · 19 = −7 + 57 = 50.

Шаг 3. S₂₀ = (−7 + 50) · 20 / 2 = 43 · 10 = 430.

Ответ: 430.

Пример: Артём решал эту задачу и получил a₂₀ = 53, потому что умножил d на 20, а не на 19. Сумма вышла 460, ответ не сошёлся. Правило «шагов на один меньше, чем членов» — первое, что стоит проверять, когда ответ не совпадает.

Типичные ошибки

• d · n вместо d · (n − 1). Самая массовая ошибка в прогрессиях. От первого члена до n-го — n − 1 шагов.
• Перепутать формулы арифметической и геометрической. В арифметической прибавляют, в геометрической умножают. Проверь, что делает последовательность, до того как брать формулу.
• Разность с неправильным знаком. d = aₙ₊₁ − aₙ, следующий минус предыдущий. Для 10, 8, 6 разность −2, не 2.
• Формула бесконечной суммы при |q| ≥ 1. Работает только для убывающей прогрессии.
• Вершина параболы: забыть минус. x₀ = −b / (2a). Для y = x² − 4x + 3 получается +2.
• Ветви «по настроению». Смотри только на знак a.
• Считать сумму перебором. Для 20 членов это долго и почти всегда с ошибкой. Формула быстрее.

Частые вопросы

Как найти сумму арифметической прогрессии?

По формуле Sₙ = (a₁ + aₙ) · n / 2, если известны первый и последний члены. Если последний неизвестен, сначала найди его через aₙ = a₁ + d(n − 1) или используй Sₙ = (2a₁ + d(n − 1)) · n / 2. Например, для 3, 7, 11, … сумма десяти членов: (3 + 39) · 10 / 2 = 210.

Чем отличается арифметическая прогрессия от геометрической?

В арифметической каждый следующий член получается прибавлением одного и того же числа (разности d), в геометрической — умножением на одно и то же число (знаменатель q). 2, 5, 8, 11 — арифметическая; 2, 6, 18, 54 — геометрическая.

Как найти разность арифметической прогрессии?

Вычти из любого члена предыдущий: d = a₂ − a₁. Если даны не соседние члены, например a₃ и a₇, раздели их разность на число шагов между ними: d = (a₇ − a₃) / 4.

Как найти вершину параболы?

Абсцисса вершины x₀ = −b / (2a), ордината — значение функции в этой точке. Для y = x² − 4x + 3: x₀ = 4 / 2 = 2, y₀ = −1. Если ветви вверх, это наименьшее значение функции; если вниз — наибольшее.

Какие задания на прогрессии бывают в ОГЭ?

Обычно одно задание: найти n-й член, сумму первых n членов или разность/знаменатель по данным членам. Иногда прогрессия «спрятана» в текстовой задаче (ряды в зале, вклад в банке, падение мяча). Все они решаются формулами из этой статьи.

Что дальше

• Алгебра 8 класс: квадратные уравнения — без них не найти нули функции.
• Разбор уравнений — все типы, которые встречаются в 9 классе.
• Как подготовиться к ОГЭ — план на год с распределением тем.
• Разбор задач на проценты — геометрическая прогрессия в задачах на вклады.
• Непонятная задача из учебника? Спроси на Razbery — получишь разбор с объяснением, а не голый ответ.