Функции и графики: разбор от линейной до квадратичной

«Постройте график функции y = 2x − 3». Ты берёшь линейку, составляешь таблицу из семи точек, соединяешь — и получаешь прямую. Правильно, но за пять минут. Через год задача усложняется: y = −x² + 4x − 3, таблица из десяти точек, и парабола получается кривая, потому что вершина попала между точками.

Функции и графики — тема, где зубрёжка даёт хуже всего. Таблица точек — это костыль. Тот, кто понимает, что за что отвечает в формуле, строит прямую по двум точкам, а параболу — по вершине и трём числам. И читает график с первого взгляда: где растёт, где нули, где наибольшее.

В статье: что такое функция, как читать графики, три базовые функции с их «характером» и пять задач из ОГЭ с разбором.

Что такое функция простыми словами

Функция — это правило, которое каждому x ставит в соответствие ровно один y. Автомат с напитками: нажал кнопку (это x) — получил конкретную банку (это y). Один x — один y. Если бы автомат на одну кнопку выдавал то колу, то воду — это не функция.

Обозначения: y = f(x). x — аргумент (независимая переменная, то, что ты выбираешь). y — значение функции (зависимая, то, что получается). f(2) — значение функции при x = 2.

График функции — все точки (x; y), где y = f(x). Каждая точка графика — это пара «взял x, получил y». Проверка, что кривая — график функции: любая вертикальная прямая пересекает её не больше одного раза.

Как читать график

Прежде чем строить, научись читать. Вот что можно узнать по графику за 10 секунд:

Совет: «растёт» и «убывает» — всегда слева направо, как читаем. Парабола ветвями вверх: слева от вершины убывает, справа растёт. Промежутки возрастания записывают по x, а не по y.

Линейная функция y = kx + b

График — прямая. Два числа полностью определяют её характер:

• k — угловой коэффициент. Отвечает за наклон. k > 0 — прямая идёт вверх (функция растёт). k < 0 — вниз. k = 0 — горизонтальная. Чем больше |k|, тем круче. Смысл k: на сколько меняется y, когда x увеличивается на 1.
• b — свободный член. Где прямая пересекает ось y. При x = 0 получаем y = b.

Строится по двум точкам. Удобнее всего: x = 0 (получаешь (0; b)) и любой x, при котором y целый.

Две прямые параллельны, если у них одинаковый k. Пересекаются в одной точке, если k разные. Частный случай y = kx (при b = 0) — прямая пропорциональность, проходит через начало координат.

Квадратичная функция y = ax² + bx + c

График — парабола. Три числа, три ответственности:

• a — направление ветвей и «ширина». a > 0 — ветви вверх (улыбка). a < 0 — вниз (грусть). Чем больше |a|, тем уже парабола.
• c — пересечение с осью y: точка (0; c).
• b — вместе с a определяет положение вершины.

Вершина — главная точка. Её абсцисса: x₀ = −b / (2a). Ордината — подставить x₀ в формулу. Парабола симметрична относительно вертикальной прямой через вершину.

Нули — корни уравнения ax² + bx + c = 0. Их два, один или ноль в зависимости от дискриминанта. Если корни есть, вершина находится ровно посередине между ними.

Как построить параболу без таблицы:

1. Определи направление ветвей по знаку a.
2. Найди вершину: x₀ = −b/(2a), y₀ = f(x₀).
3. Найди точку пересечения с осью y: (0; c).
4. Отметь симметричную ей точку относительно оси параболы: (2x₀; c).
5. Если легко, найди нули.
6. Проведи плавную кривую через вершину и эти точки.

Пять точек и никаких таблиц.

Обратная пропорциональность y = k/x

График — гипербола, две ветви. При k > 0 ветви в I и III четвертях, при k < 0 — во II и IV. Функция не определена при x = 0 (на ноль делить нельзя) — график никогда не касается осей, только приближается к ним.

Смысл: чем больше x, тем меньше y, и их произведение постоянно: xy = k. Скорость и время при фиксированном пути, цена и количество при фиксированной сумме.

Ещё две функции, которые стоит узнавать в лицо: y = √x — половина параболы, лежащей на боку, только при x ≥ 0; y = |x| — галочка с вершиной в нуле.

Задача 1. Определить формулу по графику (ОГЭ, задание 11)

Условие. На рисунке прямая проходит через точки (0; −2) и (2; 2). Записать её формулу.

Шаг 1. Прямая — линейная функция y = kx + b.

Шаг 2. При x = 0 y = −2, значит b = −2.

Шаг 3. Находим k — на сколько растёт y при росте x на 1. От x = 0 до x = 2 y вырос от −2 до 2, то есть на 4. За два шага. За один шаг: k = 4/2 = 2.

Шаг 4. y = 2x − 2.

Шаг 5. Проверка второй точкой: 2 · 2 − 2 = 2. Верно.

Ответ: y = 2x − 2.

Общая формула для k по двум точкам: k = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Знаменатель — изменение x, числитель — изменение y.

Задача 2. Сопоставить графики и формулы (ОГЭ, задание 11)

Условие. Даны три формулы: y = 2x + 1, y = −2x + 1, y = 2x − 1. И три прямых: А — идёт вниз, пересекает ось y выше нуля; Б — идёт вверх, пересекает ось y выше нуля; В — идёт вверх, пересекает ось y ниже нуля. Сопоставить.

Шаг 1. Смотрим на k. Идёт вниз — k < 0. Только у y = −2x + 1. Значит А — это −2x + 1.

Шаг 2. Остались Б и В, обе с k = 2. Различаем по b. Выше нуля — b = 1: Б — y = 2x + 1. Ниже — b = −1: В — y = 2x − 1.

Ответ: А → −2x + 1, Б → 2x + 1, В → 2x − 1.

Алгоритм на все такие задачи: сначала знак k (вверх/вниз), потом знак b (выше/ниже нуля пересекает ось y).

Задача 3. Построить параболу по формуле

Условие. Построить график y = x² − 4x + 3 и найти промежуток убывания.

Шаг 1. a = 1 > 0 — ветви вверх.

Шаг 2. Вершина: x₀ = −(−4) / (2 · 1) = 2. y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Вершина (2; −1).

Шаг 3. Пересечение с осью y: c = 3, точка (0; 3). Симметричная относительно x = 2: (4; 3).

Шаг 4. Нули: x² − 4x + 3 = 0, корни 1 и 3 (Виета). Точки (1; 0) и (3; 0). Проверка: вершина x = 2 — ровно посередине между 1 и 3.

Шаг 5. Рисуем параболу через (0; 3), (1; 0), (2; −1), (3; 0), (4; 3).

Шаг 6. Убывает слева от вершины: при x ≤ 2.

Ответ: промежуток убывания (−∞; 2].

Задача 4. Наименьшее значение квадратичной функции

Условие. Найти наименьшее значение функции y = 2x² + 8x + 5.

Шаг 1. a = 2 > 0, ветви вверх — значит, у функции есть наименьшее значение, и оно в вершине. (Наибольшего нет — ветви уходят вверх бесконечно.)

Шаг 2. x₀ = −8 / (2 · 2) = −2.

Шаг 3. y₀ = 2 · 4 + 8 · (−2) + 5 = 8 − 16 + 5 = −3.

Ответ: −3.

Ошибка: записать в ответ −2. Это x вершины, а спрашивали значение функции, то есть y. Перечитай вопрос: «наименьшее значение» — это y, «при каком x» — это x.

Задача 5. Гипербола и точка на графике

Условие. График функции y = k/x проходит через точку (−4; 3). Найти k и определить, проходит ли график через точку (6; −2).

Шаг 1. Подставляем точку: 3 = k / (−4), k = −12. Функция: y = −12/x.

Шаг 2. Проверяем вторую точку: при x = 6 y = −12/6 = −2. Совпадает с ординатой точки.

Ответ: k = −12; да, проходит.

Лайфхак: для гиперболы xy = k для всех точек. (−4) · 3 = −12 и 6 · (−2) = −12. Произведения равны — точки на одной гиперболе.

Преобразования графиков: сдвиги

В 8–9 классе просят построить y = (x − 2)² + 3. Не раскрывай скобки. Это парабола y = x², сдвинутая на 2 вправо и на 3 вверх. Вершина (2; 3).

Почему x − 2 — сдвиг вправо: чтобы получить то же значение, что у f в нуле, теперь надо взять x = 2. Всё «опоздало» на 2 вправо.

Пример: ученик строил y = −(x + 1)² + 4, раскрыл скобки, посчитал вершину через −b/2a, ошибся в знаке. А можно было прочитать: парабола вниз (минус перед скобкой), сдвинута влево на 1 (x + 1), вверх на 4. Вершина (−1; 4). Ноль вычислений.

Типичные ошибки

Строят по таблице там, где хватит двух точек. Для прямой достаточно (0; b) и ещё одной.

Путают k и b. k — наклон, b — где пересекает ось y. В y = 3x − 5 прямая идёт вверх и пересекает ось y в −5.

Пропускают вершину параболы. Строят по таблице с целыми x, а вершина в x = 1,5. Кривая получается с плоским дном. Всегда считай вершину отдельно.

Путают точку и значение. «Наименьшее значение» — это y₀, а не x₀.

Промежутки возрастания записывают по y. Промежутки — это множество x. Ответ вида «функция возрастает при y > −1» неверен.

Сдвиг f(x − 2) считают сдвигом влево. Минус в скобках — вправо.

Не учитывают область определения. У y = k/x нет точки при x = 0, у y = √x нет отрицательных x.

Частые вопросы

Что такое функция простыми словами?

Правило, которое каждому значению x ставит в соответствие ровно одно значение y. Формула y = 2x + 1 — функция: взял x = 3, получил y = 7, и никакого другого. График функции — все такие пары (x; y) на координатной плоскости.

Как построить график линейной функции?

По двум точкам. Первая — (0; b), где b — свободный член. Вторая — любой удобный x, например x = 1: y = k + b. Соедини линейкой. Для y = 2x − 3 это точки (0; −3) и (1; −1).

Как построить параболу?

Найди вершину: x₀ = −b/(2a), y₀ — подставь x₀ в формулу. Определи направление ветвей по знаку a. Отметь точку (0; c) и симметричную ей относительно оси параболы. Найди нули, если они есть. Проведи плавную кривую через эти точки.

Что показывает коэффициент k в линейной функции?

Наклон прямой: на сколько изменится y, если x увеличить на 1. При k > 0 функция растёт, при k < 0 убывает. Чем больше |k|, тем круче прямая. Прямые с одинаковым k параллельны.

Как по графику определить, где функция возрастает?

Смотри слева направо: где график поднимается — там возрастает, где опускается — убывает. Промежуток записывается по оси x. Парабола ветвями вверх убывает до вершины и возрастает после неё.

Что дальше

• Производная: смысл правила и разбор задач — производная это наклон касательной, тот самый k, только в каждой точке свой.
• Неравенства: метод интервалов с разбором — где парабола выше оси, там квадратный трёхчлен положителен.
• Системы уравнений: три метода с разбором — пересечение графиков это и есть решение системы.
• Алгебра 8 класс: квадратные уравнения и дискриминант с разбором — нули параболы это корни квадратного уравнения.
• Не понимаешь, почему график выглядит именно так — спроси в Razbery: объяснят по формуле, что за что отвечает.