Геометрия 7 класс: разбор типовых задач на треугольники

Геометрия начинается в 7 классе с треугольников, и именно здесь многие решают, что «геометрия — не моё». Причина понятна: в алгебре есть алгоритм — раскрыл скобки, перенёс, поделил. В геометрии алгоритма как будто нет: смотри на чертёж и «догадывайся».

На самом деле алгоритм есть, просто он другой: выпиши, что дано, назови теорему, которая связывает дано с искомым, и запиши цепочку. Ниже — пять типовых задач 7 класса про треугольники, разобранных так, как их нужно оформлять в тетради, с объяснением каждого перехода. После них станет видно, что «догадываться» не нужно — нужно знать пять теорем.

Пять теорем, на которых держится 7 класс

Если ты знаешь эти пять и умеешь их записывать — 7 класс закрыт.

Задача 1. Углы в отношении

Условие. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найдите углы.

Дано: ∠A : ∠B : ∠C = 2 : 3 : 4. Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Решение.

1. Пусть одна часть равна x. Тогда ∠A = 2x, ∠B = 3x, ∠C = 4x.
2. По теореме о сумме углов треугольника: 2x + 3x + 4x = 180°.
3. 9x = 180°, x = 20°.
4. ∠A = 40°, ∠B = 60°, ∠C = 80°.

Проверка. 40 + 60 + 80 = 180. Верно. Отношение 40 : 60 : 80 = 2 : 3 : 4. Верно.

Ответ: 40°, 60°, 80°.

Здесь геометрии — одна строка (теорема о сумме углов), остальное — алгебра. Так устроена половина задач 7 класса: одна теорема даёт уравнение.

Задача 2. Равнобедренный треугольник и внешний угол

Условие. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC внешний угол при вершине A равен 110°. Найдите углы треугольника.

Дано: AB = BC (основание AC), внешний угол при A равен 110°. Найти: ∠A, ∠B, ∠C.

Решение.

1. Внешний угол и внутренний угол при той же вершине — смежные, их сумма 180°. Значит, ∠A = 180° − 110° = 70°.
2. Треугольник равнобедренный с основанием AC, поэтому углы при основании равны: ∠C = ∠A = 70°.
3. По теореме о сумме углов: ∠B = 180° − 70° − 70° = 40°.

Проверка через теорему о внешнем угле. Внешний угол при A должен равняться сумме двух не смежных с ним внутренних: ∠B + ∠C = 40° + 70° = 110°. Сходится.

Ответ: ∠A = 70°, ∠C = 70°, ∠B = 40°.

Ошибка: решить, что 110° — это угол при вершине B, «потому что он самый большой». Читай условие: «внешний угол при вершине A». Внешний угол всегда смежен с внутренним при той же вершине.

Задача 3. Признак равенства треугольников

Условие. На рисунке AB = AD, ∠BAC = ∠DAC. Докажите, что BC = DC.

Дано: AB = AD, ∠BAC = ∠DAC. Доказать: BC = DC.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и ADC.

1. AB = AD — по условию.
2. AC — общая сторона.
3. ∠BAC = ∠DAC — по условию. Этот угол лежит между сторонами AB и AC в первом треугольнике и между AD и AC во втором.
4. Следовательно, △ABC = △ADC по первому признаку равенства (по двум сторонам и углу между ними).
5. В равных треугольниках против равных углов лежат равные стороны: BC = DC. Что и требовалось доказать.

Ключевые слова, за которые ставят баллы: «рассмотрим треугольники», «общая сторона», «по первому признаку», «в равных треугольниках соответственные элементы равны». Без них доказательство не засчитывается, даже если идея верная. Как оформлять — подробнее в статье оформление решения.

Как выбрать признак: посчитай, что дано. Две стороны и угол — смотри, лежит ли угол между ними (тогда I признак). Сторона и два угла — II признак. Три стороны — III. Две стороны и угол не между ними — признака нет, треугольники могут быть не равны.

Задача 4. Периметр равнобедренного треугольника

Условие. Периметр равнобедренного треугольника 50 см. Боковая сторона на 7 см больше основания. Найдите стороны.

Дано: P = 50 см, боковая сторона больше основания на 7 см. Найти: стороны.

Решение.

1. Пусть основание равно x см. Тогда каждая боковая сторона — x + 7 см (их две, и они равны — это определение равнобедренного треугольника).
2. Периметр — сумма всех сторон: x + (x + 7) + (x + 7) = 50.
3. 3x + 14 = 50, 3x = 36, x = 12.
4. Основание 12 см, боковые стороны по 12 + 7 = 19 см.

Проверка. 12 + 19 + 19 = 50. Верно. Неравенство треугольника: каждая сторона меньше суммы двух других: 19 < 12 + 19 — верно, треугольник существует.

Ответ: 12 см, 19 см, 19 см.

Ошибка, которую делают часто: записать периметр как x + (x + 7) — забыть, что боковых сторон две. Рисунок с подписанными сторонами спасает.

Задача 5. Прямоугольный треугольник с углом 30°

Условие. В прямоугольном треугольнике ABC угол C прямой, ∠A = 30°, гипотенуза AB = 16 см. Найдите катет BC и угол B.

Дано: ∠C = 90°, ∠A = 30°, AB = 16 см. Найти: BC, ∠B.

Решение.

1. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°: ∠B = 90° − 30° = 60°.
2. Катет BC лежит против угла A, равного 30°. По свойству прямоугольного треугольника катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы: BC = AB / 2 = 16 / 2 = 8 см.

Проверка. Против меньшего угла лежит меньшая сторона: против 30° — катет 8, против 90° — гипотенуза 16. Катет меньше гипотенузы. Верно.

Ответ: BC = 8 см, ∠B = 60°.

Важно слово «против». Катет AC прилегает к углу A, а не лежит против него, и его половиной гипотенузы считать нельзя (он равен 8√3, но это уже 8 класс).

Совет: в любом прямоугольном треугольнике сразу отмечай прямой угол квадратиком, а данный острый — дугой. Тогда «против какого угла лежит катет» видно на чертеже, а не вычисляется в голове.

Как оформлять задачу по геометрии

Стандарт, которого ждёт учитель в 7 классе:

Дано: △ABC, AB = BC, ∠A(внешний) = 110°
Найти: ∠A, ∠B, ∠C
Решение:
1) ∠A = 180° − 110° = 70° (смежные углы)
2) ∠C = ∠A = 70° (углы при основании равнобедренного △)
3) ∠B = 180° − 70° − 70° = 40° (сумма углов △)
Ответ: 70°, 40°, 70°

Каждая строка — одно действие и в скобках причина. Это и есть «разбор»: не просто числа, а объяснение, откуда каждое. На проверочных именно за причины ставят баллы.

Чертёж — обязателен, даже кривой. Отмечай на нём всё, что дано: равные стороны — одинаковыми чёрточками, равные углы — одинаковыми дугами, прямой угол — квадратиком. Половина задач решается в момент, когда всё отмечено.

Пример: Лиза, 7 класс, три недели получала «3» за геометрию при верных ответах. Учитель написал на полях: «где обоснование?». Лиза стала писать причину в скобках после каждой строки — оценки стали «5», а решать стало проще: причина в скобках подсказывает следующий шаг.

Типичные ошибки

• Решать без чертежа. «В голове» углы и стороны путаются. Чертёж — первый шаг всегда.
• Не отмечать дано на чертеже. Равные стороны без чёрточек — незаметны.
• Путать внешний и внутренний угол. Внешний смежен с внутренним при той же вершине, сумма 180°.
• Забывать вторую боковую сторону в периметре равнобедренного треугольника.
• Применять «половину гипотенузы» к прилежащему катету. Только катет против 30°.
• Писать ответ без обоснования. В геометрии числа без причин — не решение.
• Выбирать признак равенства, не проверив, между ли сторонами угол. Две стороны и угол не между ними — не признак.

Частые вопросы

Как решать задачи по геометрии в 7 классе?

Чертёж, дано с отметками на чертеже, вопрос «какая теорема связывает дано и искомое», цепочка действий с причиной в скобках, ответ. В 7 классе теорем всего пять (сумма углов, внешний угол, равнобедренный треугольник, признаки равенства, прямоугольный треугольник) — перебери их, и нужная найдётся.

Как найти углы треугольника, если известно их отношение?

Обозначь одну часть за x, запиши углы как 2x, 3x, 4x (по отношению), сложи и приравняй к 180°. Найди x, подставь. Проверь, что сумма получилась 180° и отношение сохранилось.

Как понять, какой признак равенства треугольников применять?

Посчитай, что известно про два треугольника. Две стороны и угол между ними — первый признак. Сторона и два прилежащих угла — второй. Три стороны — третий. Не забывай про общую сторону, если треугольники имеют общий отрезок, и про вертикальные углы, если стороны пересекаются.

Что такое внешний угол треугольника и как его найти?

Внешний угол — угол между стороной треугольника и продолжением соседней стороны. Он смежен с внутренним углом при той же вершине, поэтому в сумме с ним даёт 180°. И он равен сумме двух других внутренних углов треугольника — это теорема о внешнем угле, удобная для проверки.

Почему катет против угла 30° равен половине гипотенузы?

Если приложить к прямоугольному треугольнику его зеркальную копию вдоль катета, прилежащего к 30°, получится треугольник с углами 60°, 60°, 60° — равносторонний. Его сторона — гипотенуза, а катет против 30° — половина этой стороны. Это доказательство из учебника, и его иногда спрашивают на зачёте.

Что дальше

• Как учить теоремы
• Геометрия: как понять
• Геометрия 8 класс: четырёхугольники и подобие
• Оформление решения: как не терять баллы
• Не видишь, какую теорему применить, — опиши чертёж и спроси: Razbery