Как решать задачи по математике: универсальный алгоритм

Примеры решаешь нормально: уравнение — пожалуйста, вычислить — легко. А потом задача: «Из пункта А в пункт В выехал велосипедист…» — и всё. Читаешь три раза, цифры перед глазами, а что с ними делать — непонятно. Начинаешь что-то умножать наугад, получаешь ерунду, закрываешь тетрадь: «не умею решать задачи».

Умение решать задачи — это не талант и не «математическое мышление, которое либо есть, либо нет». Это набор действий в определённом порядке, который можно выучить, как выучил алгоритм деления столбиком. Алгоритм известен со времён книги Дьёрдя Пойа «Как решать задачу» (1945), и с тех пор он не изменился, потому что работает.

В статье — шесть шагов этого алгоритма, три задачи разного уровня, разобранные строго по шагам, и десять приёмов на случай, когда застрял и не видишь хода.

Почему примеры получаются, а задачи — нет

Пример говорит тебе, что делать: «реши уравнение». Задача — нет. В задаче нужно самому перевести слова в математику, и вот этот перевод никто специально не учил. В школе показывают решение готовой задачи («смотрите, составляем уравнение»), но не показывают, как до этого уравнения додумались.

Отсюда три типичных провала:

• Начинаешь считать до того, как понял, что спрашивают. Умножаешь всё на всё.
• Ищешь «формулу для этой задачи». Её нет: задача — это не тип, а ситуация.
• Бросаешь после первой неудачной попытки. А в задачах первая попытка почти всегда неудачная — это норма, а не признак «не умею».

Алгоритм ниже лечит все три.

Универсальный алгоритм: 6 шагов

1. Пойми условие. Прочитай дважды. Выпиши: что дано (все числа и связи между ними) и что найти (одной фразой). Переведи каждую фразу условия в короткую запись: «на 20 % больше» → × 1,2; «через 3 часа встретились» → t = 3; «в два раза старше» → × 2.
2. Нарисуй. Схему, таблицу, отрезок, чертёж — что угодно, лишь бы условие стало видно, а не только читалось. Для движения — отрезок с точками; для «работы» и «смесей» — таблица; для геометрии — чертёж по линейке с обозначениями.
3. Найди связь. Какая математическая связь соединяет «дано» и «найти»? Формула (S = v · t), уравнение (сумма частей = целое), свойство (углы треугольника = 180°). Если связей несколько — выбери ту, где меньше неизвестных.
4. Составь план. Прежде чем считать — напиши словами, что за чем: «1) найду скорость сближения; 2) найду время; 3) найду расстояние». Три строки. Если план не пишется — значит, связь не найдена, вернись к шагу 3.
5. Выполни и проверь каждый шаг. Считай по плану, каждое действие — отдельная строка с пояснением. После каждого шага прикинь: похоже на правду? Скорость велосипедиста 200 км/ч — нет, не похоже.
6. Проверь ответ и оглянись. Подставь ответ в условие: сходится? Отвечает на вопрос задачи (именно то, что спрашивали, в тех единицах)? И главное — что это была за задача? Какой приём сработал? Одна фраза в тетрадь: «Движение навстречу — складываю скорости».

Шестой шаг — тот, который пропускают все, и именно он превращает решённую задачу в навык.

Совет: первые две недели пиши все шесть шагов явно, с заголовками «Дано / Найти / Схема / Связь / План / Решение / Проверка». Это медленно и кажется глупым. Через две недели шаги уйдут в голову, а навык останется.

Задача 1 (5–6 класс): на части

Условие. В двух ящиках 48 кг яблок. В первом ящике в 3 раза больше, чем во втором. Сколько кг яблок в каждом ящике?

Шаг 1. Понять. Дано: всего 48 кг; первый = второй × 3. Найти: сколько в первом и во втором.

Шаг 2. Нарисовать. Второй ящик — один отрезок (одна часть). Первый — три таких отрезка. Всего 4 части = 48 кг.

Шаг 3. Связь. Целое = сумма частей. Если вторая = 1 часть, первая = 3 части, всего 4 части.

Шаг 4. План. 1) найти, сколько кг в одной части; 2) найти первый ящик; 3) проверить сумму.

Шаг 5. Выполнить.

• Одна часть: 48 : 4 = 12 кг — это второй ящик.
• Первый ящик: 12 · 3 = 36 кг.

Шаг 6. Проверить. 36 + 12 = 48 ✓. 36 : 12 = 3 ✓. Ответ: 36 кг и 12 кг.

Вывод в тетрадь: «„В N раз больше" → рисую части, делю целое на общее число частей».

Задача 2 (7–8 класс): на движение

Условие. Из двух городов, расстояние между которыми 300 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 80 км/ч, автобуса — 70 км/ч. Через сколько часов они встретятся?

Шаг 1. Понять. Дано: S = 300 км; v₁ = 80, v₂ = 70; выехали одновременно, навстречу. Найти: время до встречи t.

Шаг 2. Нарисовать. Отрезок 300 км. Слева стрелка вправо (80), справа стрелка влево (70). Точка встречи где-то между.

Шаг 3. Связь. При движении навстречу расстояние сокращается со скоростью v₁ + v₂ (скорость сближения). Тогда S = (v₁ + v₂) · t.

Шаг 4. План. 1) скорость сближения; 2) время = расстояние : скорость сближения.

Шаг 5. Выполнить.

• v = 80 + 70 = 150 км/ч.
• t = 300 : 150 = 2 ч.

Шаг 6. Проверить. За 2 часа автомобиль проехал 80 · 2 = 160 км, автобус — 70 · 2 = 140 км. 160 + 140 = 300 ✓. Ответ: через 2 часа.

Вывод: «Навстречу — скорости складываю. Вдогонку — вычитаю».

Задача 3 (9–11 класс): на проценты и уравнение

Условие. Цену товара сначала повысили на 20 %, а затем понизили на 20 %. В итоге товар стал стоить 960 рублей. Какой была первоначальная цена?

Шаг 1. Понять. Дано: цена x → +20 % → −20 % → 960. Найти x. Ловушка: «повысили и понизили на одинаковый процент» — не значит вернулись к исходной, потому что 20 % берутся от разных чисел.

Шаг 2. Нарисовать. Цепочка: x → x · 1,2 → x · 1,2 · 0,8 → 960.

Шаг 3. Связь. Повышение на 20 % — умножение на 1,2; понижение на 20 % — умножение на 0,8. Итог: x · 1,2 · 0,8 = 960.

Шаг 4. План. 1) перемножить коэффициенты; 2) решить линейное уравнение; 3) проверить прямым счётом.

Шаг 5. Выполнить.

• 1,2 · 0,8 = 0,96.
• 0,96 · x = 960, откуда x = 960 : 0,96 = 1000.

Шаг 6. Проверить. 1000 · 1,2 = 1200; 1200 · 0,8 = 960 ✓. Ответ: 1000 рублей.

Вывод: «Проценты — всегда через коэффициенты (1 ± p/100). „Одинаковые" проценты вверх и вниз не отменяют друг друга».

Когда застрял: 10 приёмов

Алгоритм даёт порядок, но на шаге 3 («найди связь») бывает пусто. Вот что делать вместо того, чтобы закрыть тетрадь.

Ошибка: «застрял» — это не «не умею». У любого сильного решателя первая попытка не срабатывает в половине задач. Разница в том, что он пробует второй приём, третий, а ты — закрываешь тетрадь после первого.

Как тренировать: план на месяц

Навык решать задачи строится не на сложных задачах, а на разных задачах среднего уровня, разобранных до шага 6.

По 30–40 минут в день, шесть дней. За месяц — около сотни задач с выводами, и «не умею решать задачи» перестаёт быть правдой.

Если на какой-то задаче все десять приёмов не сработали — спроси. Не «дайте ответ», а «дошёл до такого шага, дальше не вижу связи» — так вопрос формулируют на Razbery, и отвечают там тоже логикой, а не ответом. Три таких разбора дают больше, чем тридцать переписанных из ГДЗ.

Тренировку удобно держать как ежедневную задачу-привычку в планировщике: «3 задачи, 30 минут» с помодоро в Doday, и стрик по дням подряд — самый простой способ дойти до четвёртой недели.

Как оформлять, чтобы находить ошибки

Половина «не получилось» — это ошибка на третьей строке, которую невозможно найти, потому что третьей строки нет: всё посчитано в голове.

• Одно действие — одна строка.
• У каждой строки — короткое пояснение: «скорость сближения», «по теореме Пифагора».
• Единицы измерения — везде, где они есть.
• Промежуточные ответы — с прикидкой: «≈ 150, похоже».
• Ответ — отдельной строкой, с единицами, в формулировке вопроса.

Подробно про оформление — в статье как вести тетрадь по математике.

Типичные ошибки

• Считать до понимания. Прочитал один раз, схватил два числа, перемножил.
• Искать «формулу для этой задачи». Нужна не формула, а связь между дано и найти.
• Пропускать рисунок. «И так понятно» — самая частая причина неправильно понятого условия.
• Не писать план. Три действия в голове превращаются в путаницу на бумаге.
• Не проверять ответ подстановкой. Тридцать секунд, которые ловят половину ошибок.
• Не делать шаг 6 «оглянись». Решённая задача без вывода — это одна задача. С выводом — это тип задач.
• Сдаваться после первой попытки. Первая попытка — разведка, а не решение.
• Решать только сложные задачи. Навык строится на ста средних, а не на пяти олимпиадных.
• Списать решение и «понять». Понимание чужого решения — не умение найти своё. Списанная задача не учит ничему.

Частые вопросы

Как научиться решать задачи по математике, если совсем не получается?

Перестать считать сразу и начать с алгоритма: понять условие (выписать дано и найти), нарисовать схему, найти связь, написать план из 2–3 действий, решить по плану, проверить подстановкой и записать вывод. Первые две недели — все шаги явно, письменно, по 3 задачи одного типа в день. Через месяц около сотни задач — и навык появляется.

Что делать, если не понимаешь задачу по математике?

Переформулировать условие своими словами, нарисовать схему, упростить числа до круглых, пойти от вопроса («что нужно знать, чтобы ответить?»). Если не помогает — обозначить неизвестным то, что спрашивают, и описать остальное через него. Если все приёмы не сработали за 20 минут — спросить, сформулировав, до какого шага дошёл.

Как решать текстовые задачи по математике?

Перевести каждую фразу условия в математическую запись («на 20 % больше» — умножить на 1,2; «в 3 раза больше» — умножить на 3), нарисовать схему или таблицу, найти связь (целое = сумма частей, S = v · t, и т. п.), составить уравнение и решить. Обязательно подставить ответ в исходное условие.

Почему я решаю примеры, а задачи — нет?

Пример говорит, что делать; задача требует самому перевести слова в математику, и этому в школе почти не учат. Это отдельный навык — перевод условия в схему и связь, — и он тренируется алгоритмом из шести шагов на большом числе задач среднего уровня.

Сколько задач нужно решить, чтобы научиться?

Порядка ста задач разных типов за месяц при 30–40 минутах в день, каждая — с полным алгоритмом и выводом «что это за задача, какой приём сработал». Важно не количество, а вывод после каждой: без него сто задач остаются ста отдельными задачами, а не навыком.

Что дальше

• Как понять математику, если «не дано»: с чего начать
• Как вести тетрадь по математике
• Разбор задач на движение
• Разбор задач на проценты
• Как решать текстовые задачи
• Держать «3 задачи в день» как привычку со стриком и таймером: Doday для школьников