Оптика: разбор задач на линзы и отражение с решением

Оптика в школе — короткая тема, две-три недели, и на неё часто не хватает времени. В итоге к контрольной ученик помнит, что есть «формула линзы с дробями», но не понимает, когда ставить минус, что значит «мнимое изображение» и как выглядит ход лучей. А ещё там зеркала, преломление и синусы, которые в 8 классе только-только появились.

Разберём семь задач: от простого угла отражения до полного внутреннего отражения. Я покажу, как формула тонкой линзы превращается из «дробей наугад» в простой инструмент с проверкой знака, и как за минуту построить изображение, чтобы сверить ответ.

Что нужно знать

Правило знаков для линзы, которое решает 90 % проблем: F собирающей линзы — плюс, рассеивающей — минус; f действительного изображения — плюс, мнимого — минус. Если получил отрицательное f — значит, изображение мнимое и находится с той же стороны, что и предмет.

Совет: к каждой задаче на линзу делай схематичный чертёж: линза, оптическая ось, фокусы с двух сторон, предмет-стрелочка. Два луча — параллельный оси (после линзы идёт через фокус) и через оптический центр (не преломляется). Где они пересеклись — там изображение. Это проверка ответа за 30 секунд.

Задача 1. Угол отражения

Условие. Луч падает на плоское зеркало под углом 30° к его поверхности. Найди угол падения, угол отражения и угол между падающим и отражённым лучами.

Решение.

1. Ловушка в условии: угол дан к поверхности, а в законе отражения углы отсчитываются от перпендикуляра. Угол падения α = 90° − 30° = 60°.
2. По закону отражения угол отражения равен углу падения: γ = 60°.
3. Угол между лучами — это сумма угла падения и угла отражения: 60° + 60° = 120°.

Ответ: угол падения 60°, угол отражения 60°, между лучами 120°.

Слова «к поверхности» и «к перпендикуляру» — самое частое место, где теряют балл. Если в условии написано просто «угол падения 30°», это уже от перпендикуляра, ничего вычитать не нужно.

Задача 2. Какой высоты нужно зеркало

Условие. Какой минимальной высоты должно быть плоское зеркало, чтобы человек ростом 180 см видел себя в полный рост?

Решение.

1. Изображение в плоском зеркале находится за зеркалом на таком же расстоянии, что и человек перед ним. Глаз видит макушку, когда луч от макушки отразился от зеркала в точке ровно посередине между уровнем макушки и уровнем глаз (угол падения равен углу отражения — треугольник равнобедренный).
2. То же с ногами: луч от ступней отражается в точке посередине между уровнем ступней и уровнем глаз.
3. Значит, «рабочий» участок зеркала — от середины отрезка «глаза–макушка» до середины отрезка «глаза–ступни». Его длина — половина роста.
4. H = 180 / 2 = 90 см.

Ответ: 90 см, причём независимо от расстояния до зеркала.

Последнее — важно и часто спрашивают отдельно: отойдёшь дальше — не увидишь больше. Высота нужного зеркала не зависит от расстояния, только от роста.

Задача 3. Собирающая линза, предмет за двойным фокусом

Условие. Предмет стоит на расстоянии 60 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 20 см. Где получится изображение и какое оно?

Решение.

1. Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f. Выражаем 1/f = 1/F − 1/d.
2. Подставляем в сантиметрах (можно, если все величины в одних единицах): 1/f = 1/20 − 1/60.
3. Общий знаменатель 60: 1/f = 3/60 − 1/60 = 2/60 = 1/30.
4. f = 30 см. Положительное — изображение действительное, за линзой.
5. Увеличение: Γ = f / d = 30 / 60 = 0,5. Изображение в два раза меньше предмета.
6. Проверка по чертежу: предмет за двойным фокусом (60 > 40) — по правилам построения изображение должно быть между F и 2F (между 20 и 40 см), уменьшенным и перевёрнутым. 30 см — сходится.

Ответ: f = 30 см; изображение действительное, перевёрнутое, уменьшенное в 2 раза.

Общая таблица для собирающей линзы, которую стоит выучить и сверять с ней ответ:

Задача 4. Лупа: предмет ближе фокуса

Условие. Оптическая сила линзы 5 дптр. Предмет расположен в 10 см от линзы. Найди положение изображения и увеличение.

Решение.

1. Сначала фокус: F = 1/D = 1/5 = 0,2 м = 20 см. Оптическая сила положительная — линза собирающая.
2. Предмет в 10 см — ближе фокуса (10 < 20). По таблице ждём мнимое увеличенное изображение. Проверим формулой.
3. 1/f = 1/F − 1/d = 1/20 − 1/10 = 1/20 − 2/20 = −1/20.
4. f = −20 см. Минус — изображение мнимое, находится с той же стороны, что предмет, в 20 см от линзы.
5. Увеличение: Γ = |f| / d = 20 / 10 = 2.

Ответ: изображение мнимое, прямое, увеличенное в 2 раза, в 20 см от линзы со стороны предмета.

Это и есть лупа: предмет ставят ближе фокуса, а глаз видит увеличенную «картинку», как будто она висит за предметом. Отрицательный знак f — не ошибка, а информация.

Ошибка: получив 1/f = −1/20, ученик решает, что «так не бывает», меняет знак и пишет f = 20 см, действительное. Ответ неверный по всем пунктам. Минус в оптике — законный результат, его нужно интерпретировать, а не прятать.

Задача 5. Размер изображения

Условие. Предмет высотой 2 см стоит в 15 см от собирающей линзы с фокусным расстоянием 10 см. Найди высоту изображения.

Решение.

1. Расстояние до изображения: 1/f = 1/10 − 1/15 = 3/30 − 2/30 = 1/30, f = 30 см.
2. Увеличение: Γ = f / d = 30 / 15 = 2.
3. Высота изображения: H = Γ · h = 2 · 2 = 4 см.
4. Проверка: предмет между F и 2F (10 < 15 < 20) — изображение должно быть увеличенным и дальше 2F. f = 30 > 20 — верно.

Ответ: 4 см, изображение перевёрнутое, действительное.

Задача 6. Преломление на границе воздух — стекло

Условие. Луч света падает из воздуха на стекло под углом 45°. Показатель преломления стекла 1,5. Найди угол преломления.

Решение.

1. Закон преломления: sin α / sin β = n стекла / n воздуха. Для воздуха n = 1, поэтому sin β = sin α / n.
2. sin 45° ≈ 0,707.
3. sin β = 0,707 / 1,5 ≈ 0,471.
4. По таблице синусов (или калькулятору): β ≈ 28°.
5. Проверка: при переходе в более плотную среду луч должен «прижиматься» к перпендикуляру — угол уменьшается. 28° < 45° — верно.

Ответ: ≈ 28°.

Запомни направление: из воздуха в стекло/воду — угол становится меньше; из стекла/воды в воздух — больше. Если получилось наоборот, ты перепутал, какой n в числителе.

Задача 7. Полное внутреннее отражение

Условие. Найди предельный угол полного внутреннего отражения для границы вода — воздух. Показатель преломления воды 1,33.

Решение.

1. Полное отражение возможно только при выходе из более плотной среды (вода) в менее плотную (воздух). Предельный угол — тот, при котором преломлённый луч скользит вдоль границы, то есть β = 90°, sin β = 1.
2. Из закона преломления: sin α0 = n воздуха / n воды = 1 / 1,33 ≈ 0,75.
3. α0 ≈ 49° (sin 49° ≈ 0,755, ближайшее табличное значение).
4. Смысл: если луч внутри воды падает на поверхность под углом больше 49° к перпендикуляру, он не выйдет наружу, а полностью отразится обратно.

Ответ: ≈ 49°.

Именно поэтому, если нырнуть и посмотреть вверх, поверхность воды кажется зеркальной везде, кроме круглого «окна» прямо над головой. И на этом же эффекте работают оптоволокно и «бриллиантовый блеск» — у алмаза n = 2,42, предельный угол всего 24°, свет застревает внутри и выходит вспышками.

Алгоритм решения задач на линзы

1. Запиши, что дано, и переведи в одни единицы. Для формулы линзы можно оставить сантиметры; для оптической силы F обязан быть в метрах.
2. Определи тип линзы по условию или по знаку D: плюс — собирающая, минус — рассеивающая.
3. По таблице выше предскажи, каким будет изображение. Это твой эталон для проверки.
4. Выпиши 1/f = 1/F − 1/d (или другую нужную перестановку), приведи дроби к общему знаменателю, найди f.
5. Интерпретируй знак f: плюс — действительное за линзой, минус — мнимое со стороны предмета.
6. Если нужно — увеличение Γ = |f| / d и размер H = Γ · h.
7. Сверь с предсказанием из шага 3. Не сошлось — ищи ошибку в дробях.

Типичные ошибки

Отсчитывать угол от поверхности вместо перпендикуляра. Все углы в оптике — от нормали. «Угол к поверхности 30°» означает угол падения 60°.

Терять или «исправлять» минус. Отрицательное f — мнимое изображение; отрицательное F — рассеивающая линза. Это результат, а не опечатка.

Складывать дроби с разными знаменателями «в лоб». 1/20 − 1/60 не равно 1/40. Приводи к общему знаменателю всегда — в 8 классе на этом теряют больше баллов, чем на физике.

Считать оптическую силу из фокуса в сантиметрах. D = 1/F только для F в метрах. F = 20 см → D = 1/0,2 = 5 дптр, а не 0,05.

Путать, куда уменьшается угол при преломлении. В более плотную среду — к перпендикуляру (угол меньше), в менее плотную — от перпендикуляра (больше).

Искать полное внутреннее отражение при входе в плотную среду. Из воздуха в воду оно невозможно: луч всегда преломится. Только из воды/стекла наружу.

Частые вопросы

Как решать задачи на формулу тонкой линзы?

Выпиши 1/F = 1/d + 1/f, вырази неизвестную величину, приведи дроби к общему знаменателю и переверни результат. Проверь знак: положительное f — действительное изображение за линзой, отрицательное — мнимое со стороны предмета. Сверь ответ с таблицей «где предмет — где изображение».

Что значит мнимое изображение?

Это изображение, которое получается не на пересечении самих лучей, а на пересечении их продолжений. Его нельзя поймать на экран, но глаз его видит — как в плоском зеркале или в лупе. В формуле линзы мнимому изображению соответствует отрицательное f.

Как найти оптическую силу линзы?

D = 1/F, где фокусное расстояние F выражено в метрах. Линза с F = 25 см имеет D = 1/0,25 = 4 дптр. У собирающей линзы D положительная, у рассеивающей — отрицательная. Очки «−2» — это рассеивающие линзы с F = −0,5 м.

Почему в воде предметы кажутся ближе?

Из-за преломления: лучи, выходя из воды в воздух, отклоняются от перпендикуляра, и глаз «достраивает» их до точки, которая ближе к поверхности, чем реальный предмет. Кажущаяся глубина примерно в n раз меньше истинной — для воды в 1,33 раза.

Как построить изображение в собирающей линзе?

Достаточно двух лучей от верхней точки предмета: первый идёт параллельно главной оптической оси и после линзы проходит через задний фокус; второй проходит через оптический центр линзы без преломления. Точка их пересечения (или пересечения продолжений, если лучи расходятся) — верхняя точка изображения.

Что дальше

• Физика 8 класс: разбор ключевых тем
• Физика 9 класс: разбор ключевых тем
• Разбор задач по физике: как думать, а не подставлять
• Тепловые задачи: разбор на уравнение теплового баланса
• Как понять физику

Не получается построить ход лучей в своей задаче? Спроси в Razbery — ответ придёт с разбором, а не просто с числом.