Тепловые задачи: разбор на уравнение теплового баланса

Задачи на тепло выглядят одинаково — «в воду опустили», «лёд растаял», «смешали» — но именно на них сыпется половина класса. Причина простая: формула Q = c · m · Δt известна всем, а вот что делать, когда тел два, одно остывает, второе греется, а между ними ещё и лёд плавится, — понимают немногие.

Разберём шесть задач по нарастающей: от нагрева чайника до льда в стакане и КПД. В каждой — не только вычисления, но и главный вопрос «откуда взялось это уравнение». После этого уравнение теплового баланса перестанет быть заклинанием и станет очевидной записью «сколько отдал — столько получил».

Формулы и константы

Справочные значения, которые встречаются чаще всего (их обычно дают в условии, но лучше знать):

• вода: c = 4200 Дж/(кг·°C), λ льда = 3,4·10⁵ Дж/кг, L = 2,3·10⁶ Дж/кг;
• лёд: c = 2100 Дж/(кг·°C);
• железо/сталь: c = 460 Дж/(кг·°C); алюминий: 920; медь: 400; свинец: 140.

Совет: Δt считай как «конечная минус начальная». Если тело остывает, разность отрицательная — и это нормально для формулы. Но в уравнении баланса удобнее писать все Q положительными: у остывающего тела бери (t начальная − t конечная), у нагревающегося — (t конечная − t начальная).

Задача 1. Нагреть воду

Условие. Сколько теплоты нужно, чтобы нагреть 2 кг воды от 20 °C до кипения?

Решение.

1. Кипение воды при нормальном давлении — 100 °C. Значит, t1 = 20 °C, t2 = 100 °C.
2. Формула: Q = c · m · (t2 − t1).
3. Подставляем: Q = 4200 · 2 · (100 − 20) = 4200 · 2 · 80 = 672 000 Дж = 672 кДж.

Ответ: 672 кДж.

Задача элементарная, но обрати внимание: «нагреть до кипения» — это только до 100 °C. Само кипение (превращение в пар) — отдельный процесс с другой формулой, и если бы спросили «превратить в пар», пришлось бы добавить L · m. Внимательно читай, где заканчивается процесс.

Задача 2. Смешали горячую и холодную воду

Условие. Смешали 3 кг воды при 80 °C и 2 кг воды при 20 °C. Какая установится температура? Потерями тепла пренебречь.

Решение.

1. Обозначим конечную температуру t. Она будет где-то между 20 и 80 — это сразу даёт границы для проверки.
2. Горячая вода отдаёт: Q1 = c · m1 · (80 − t).
3. Холодная получает: Q2 = c · m2 · (t − 20).
4. Уравнение баланса: Q1 = Q2, то есть c · 3 · (80 − t) = c · 2 · (t − 20).
5. Теплоёмкость c одна и та же — сокращаем: 3 · (80 − t) = 2 · (t − 20).
6. Раскрываем скобки: 240 − 3t = 2t − 40.
7. Переносим: 240 + 40 = 2t + 3t, 280 = 5t, t = 56 °C.
8. Проверка: 56 лежит между 20 и 80 и ближе к 80 — логично, горячей воды больше.

Ответ: 56 °C.

Есть и короткий путь для одинаковых жидкостей: t = (m1·t1 + m2·t2) / (m1 + m2) = (3·80 + 2·20) / 5 = (240 + 40) / 5 = 56. Это «средневзвешенная температура». Но на контрольной запиши полное уравнение — за него дают баллы, а за формулу-шпаргалку могут и не дать.

Задача 3. Металл в воде

Условие. Стальную деталь массой 0,5 кг нагрели до 200 °C и опустили в 2 кг воды при 20 °C. Какая температура установится? c стали = 460 Дж/(кг·°C).

Решение.

1. Сталь отдаёт: Q1 = 460 · 0,5 · (200 − t) = 230 · (200 − t).
2. Вода получает: Q2 = 4200 · 2 · (t − 20) = 8400 · (t − 20).
3. Баланс: 230 · (200 − t) = 8400 · (t − 20).
4. Раскрываем: 46 000 − 230t = 8400t − 168 000.
5. Переносим: 46 000 + 168 000 = 8400t + 230t, 214 000 = 8630t.
6. t = 214 000 / 8630 ≈ 24,8 °C.
7. Проверка: температура выросла всего на 5 градусов. Логично? Да: воды в 4 раза больше по массе, а теплоёмкость воды в 9 раз больше стальной — раскалённая деталь «тонет» в тепловой инерции воды.

Ответ: ≈ 24,8 °C.

Именно эта задача ловит тех, кто ждёт «красивого» ответа вроде 110 °C (среднее между 200 и 20). Среднее арифметическое работает только для одинаковых масс одного вещества. Здесь и вещества разные, и массы, поэтому только уравнение.

Ошибка: записать баланс как c1·m1·(t − 200) = c2·m2·(t − 20). Формально по знакам это тоже верно (слева получится отрицательное число), но ученики обычно теряют минус на середине и получают t < 20 — воду, которая охладилась от раскалённой детали. Пиши разности так, чтобы обе части были положительными.

Задача 4. Лёд превратить в тёплую воду

Условие. Сколько теплоты нужно, чтобы 1 кг льда при −10 °C превратить в воду при 20 °C?

Решение. Здесь три процесса подряд, и каждый — своя формула. Рисуем «лестницу»:

1. Нагреть лёд от −10 до 0 °C: Q1 = c льда · m · Δt = 2100 · 1 · 10 = 21 000 Дж.
2. Расплавить лёд при 0 °C (температура не меняется!): Q2 = λ · m = 3,4·10⁵ · 1 = 340 000 Дж.
3. Нагреть воду от 0 до 20 °C: Q3 = c воды · m · Δt = 4200 · 1 · 20 = 84 000 Дж.
4. Складываем: Q = 21 000 + 340 000 + 84 000 = 445 000 Дж = 445 кДж.

Ответ: 445 кДж.

Посмотри на цифры: на плавление ушло 340 кДж, а на весь нагрев вместе — только 105. Плавление «съедает» больше тепла, чем нагрев на десятки градусов. Поэтому лёд в напитке держит холод так долго и поэтому в задачах про лёд самая большая ошибка — забыть λ.

Задача 5. Лёд бросили в тёплую воду

Условие. В 1 кг воды при 30 °C бросили 0,2 кг льда при 0 °C. Какая температура установится после того, как весь лёд растает?

Решение.

1. Сначала убедимся, что лёд действительно растает весь. На плавление нужно λ · m = 3,4·10⁵ · 0,2 = 68 000 Дж. Вода, остывая до 0 °C, может отдать 4200 · 1 · 30 = 126 000 Дж. 126 000 > 68 000 — тепла хватит, лёд растает, конечная температура выше нуля. (Если бы не хватило, ответ был бы 0 °C и часть льда осталась.)
2. Вода отдаёт, остывая от 30 до t: Q отд = 4200 · 1 · (30 − t).
3. Лёд получает на плавление: Q1 = 68 000 Дж.
4. Получившаяся из льда вода (0,2 кг) нагревается от 0 до t: Q2 = 4200 · 0,2 · t = 840t.
5. Баланс: 4200 · (30 − t) = 68 000 + 840t.
6. 126 000 − 4200t = 68 000 + 840t.
7. 126 000 − 68 000 = 840t + 4200t, 58 000 = 5040t.
8. t = 58 000 / 5040 ≈ 11,5 °C.
9. Проверка: результат между 0 и 30 — правдоподобно. Вода остыла на 18 градусов от 200 г льда — да, лёд «дорогой» по теплу.

Ответ: ≈ 11,5 °C.

Шаг 1 — самый важный. В контрольных часто дают столько льда, что он не растает полностью, и правильный ответ — 0 °C с расчётом, сколько льда осталось. Всегда сначала сравнивай «сколько может отдать вода» и «сколько нужно на плавление».

Задача 6. Кипение и КПД чайника

Условие. а) Сколько теплоты нужно, чтобы 0,5 кг воды при 100 °C превратить в пар? б) Электрочайник мощностью 2 кВт с КПД 80 % нагревает 1 л воды от 20 °C до кипения. Сколько это займёт времени?

Решение части а).

1. Вода уже при 100 °C, нагревать не надо — только парообразование.
2. Q = L · m = 2,3·10⁶ · 0,5 = 1 150 000 Дж = 1,15 МДж.

Для сравнения: чтобы нагреть эти же 0,5 кг от 0 до 100 °C, нужно 4200 · 0,5 · 100 = 210 000 Дж. Выкипятить воду в пять с лишним раз «дороже», чем довести до кипения.

Решение части б).

1. 1 л воды — это 1 кг (плотность воды 1000 кг/м³).
2. Полезное тепло: Q = 4200 · 1 · (100 − 20) = 336 000 Дж.
3. КПД 80 % означает, что из потребляемой мощности 2000 Вт на нагрев воды идёт 0,8 · 2000 = 1600 Вт. Остальное — на нагрев корпуса и воздуха.
4. Время: t = Q / P полезная = 336 000 / 1600 = 210 с = 3,5 мин.

Ответ: а) 1,15 МДж; б) 210 с (3,5 минуты).

Формула КПД: η = Q полезное / Q затраченное. В задачах с нагревателем «затраченное» — это P · t, а с топливом — q · m топлива. Не путай, что в числителе: полезное всегда сверху, и КПД всегда меньше 1.

Пример: ученик решает задачу про чайник и пишет t = 336 000 / 2000 = 168 с, забыв про КПД. Ответ занижен: реальный чайник греет дольше, потому что часть энергии уходит мимо. КПД в условии — это не декорация, а множитель, который обязан попасть в расчёт.

Алгоритм для любой тепловой задачи

1. Выпиши все тела и их состояние: что нагревается, что остывает, что плавится или кипит.
2. Определи конечную температуру или обозначь её t. Если есть плавление — сначала проверь, хватит ли тепла на полное плавление.
3. Для каждого тела запиши цепочку процессов в порядке температур: нагрев твёрдого → плавление → нагрев жидкости → кипение → нагрев пара. Каждый процесс — отдельное Q.
4. Составь баланс: сумма Q всех остывающих = сумма Q всех нагревающихся.
5. Реши уравнение и проверь, что t лежит между крайними температурами.
6. Если в задаче нагреватель или топливо — добавь КПД.

Типичные ошибки

Забыть о плавлении или кипении. Лёд при 0 °C и вода при 0 °C — это разные вещи, между ними 340 кДж на килограмм. Если в задаче есть фазовый переход — там всегда λ · m или L · m.

Считать среднее арифметическое температур. Работает только для равных масс одной жидкости. В остальных случаях — уравнение баланса.

Путать удельную теплоёмкость льда и воды. Лёд — 2100, вода — 4200. Пока вещество твёрдое, берём c льда.

Не переводить единицы. Граммы в килограммы (200 г = 0,2 кг), литры воды в килограммы (1 л = 1 кг), минуты в секунды, кДж в Дж. Формулы работают только в СИ.

Не проверять, растает ли лёд весь. Если тепла воды не хватает — конечная температура 0 °C, и нужно считать массу оставшегося льда, а не решать уравнение с t.

Ставить КПД не в ту сторону. Полезное тепло — это КПД, умноженный на затраченное, а не делённый. Q полезное = η · Q затраченное.

Частые вопросы

Как составить уравнение теплового баланса?

Раздели все тела на те, что отдают тепло (остывают, кристаллизуются, конденсируются), и те, что получают (нагреваются, плавятся, кипят). Запиши для каждого тела его Q по соответствующей формуле так, чтобы все Q были положительными. Приравняй сумму «отдано» к сумме «получено» и реши относительно неизвестной.

Что делать, если в задаче лёд и вода?

Сначала сравни, сколько тепла может отдать вода, остывая до 0 °C, и сколько нужно, чтобы растопить весь лёд (λ · m льда). Если воды «хватает» — лёд растает весь, конечная температура выше нуля, составляй баланс с плавлением и нагревом талой воды. Если не хватает — итог 0 °C, и ищи массу растаявшего льда.

Почему при плавлении температура не меняется?

Всё подводимое тепло идёт на разрушение кристаллической решётки, а не на ускорение молекул. Пока последний кристаллик не растает, термометр показывает температуру плавления. Поэтому в задачах плавление считается при постоянной температуре, а его «стоимость» — только λ · m.

Как решать задачи на КПД нагревателя?

Найди полезное тепло (сколько нужно воде: c·m·Δt плюс фазовые переходы, если есть). Затем Q затраченное = Q полезное / η. Если известна мощность нагревателя — t = Q затраченное / P. Если топливо — m топлива = Q затраченное / q.

Сколько тепла нужно, чтобы нагреть 1 кг воды на 1 градус?

Ровно 4200 Дж — это и есть определение удельной теплоёмкости воды. Для сравнения, стали на 1 градус нужно 460 Дж, то есть вода «держит» тепло в девять раз лучше. Именно поэтому её используют в отоплении и системах охлаждения.

Что дальше

• Физика 8 класс: разбор ключевых тем
• Закон Ома и цепи: разбор задач по электричеству
• Разбор задач по физике: как думать, а не подставлять
• Как выучить формулы и не забыть на контрольной
• Сложные темы физики: где чаще всего теряют понимание

Застрял на своей задаче со льдом? Спроси в Razbery — там разбирают ход решения, а не выдают голый ответ.