ЕГЭ-19: игра — кто выигрывает при оптимальной стратегии

Это классическая позиционная игра. Назовём проигрышными позиции, из которых проигрывает игрок, чей ход; выигрышными — из которых выигрывает.

• $S=0$: ход делать нельзя (предыдущий взял последний камень) → текущий проиграл. Позиция проигрышная.
• $S=1$: можно взять 1 (выиграть) → выигрышная.
• $S=2$: взять 2 → выигрышная.
• $S=3$: после хода остаётся 1 или 2 — выигрышная для противника. Проигрышная.
• $S=4$: можно взять 1, оставив 3 (проигрышная для противника) → выигрышная.
• $S=5$: взять 2, оставить 3 → выигрышная.
• $S=6$: остаётся 4 или 5 — обе выигрышные для противника. Проигрышная.

Прослеживается закономерность: проигрышные позиции — те, где $S$ кратно 3.

$S=10$: $10 = 9 + 1$. Первый берёт 1 камень, оставляя 9 (кратно 3 — проигрышная для второго). Первый игрок выигрывает.

Поправка к ответу: при $S=10$ выигрывает первый. Стратегия — поддерживать кратность 3 у противника.

def winner(s):
    return 1 if s % 3 != 0 else 2

print(winner(10))  # 1