В четырёхугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $O$, причём $AO = OC$ и $BO = OD$. Докажите, что $ABCD$ — параллелограмм.
По признаку параллелограмма: если диагонали точкой пересечения делятся пополам, четырёхугольник — параллелограмм.
Рассмотрим треугольники $AOB$ и $COD$. У них: $AO = OC$ (по условию), $BO = OD$ (по условию), $\angle AOB = \angle COD$ (вертикальные). По первому признаку равенства (СУС) $\triangle AOB = \triangle COD$. Отсюда $AB = CD$ и $\angle OAB = \angle OCD$. Углы $\angle OAB$ и $\angle OCD$ — накрест лежащие при прямых $AB$ и $CD$ с секущей $AC$. Их равенство означает, что $AB \parallel CD$. Аналогично, рассматривая треугольники $AOD$ и $COB$, получаем $AD \parallel BC$. По определению, $ABCD$ — параллелограмм. Можно проще: $AB = CD$ и $AB \parallel CD$ — этого уже достаточно для признака.
Razbery — про разбор, не про списывание. Объяснение обязательно.