Длина дуги окружности

Формула длины дуги: $L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$ (если угол в градусах), или $L = R\alpha$ (если в радианах). Подставим: $L = \frac{\pi \cdot 9 \cdot 40}{180} = \frac{360\pi}{180} = 2\pi$. Идея: длина всей окружности $2\pi R$ соответствует углу $360^\circ$. Дуга в $40^\circ$ — $\frac{40}{360} = \frac{1}{9}$ окружности, и её длина — $\frac{2\pi \cdot 9}{9} = 2\pi$. Связь с радианной мерой: $40^\circ = \frac{40\pi}{180} = \frac{2\pi}{9}$ рад, $L = R\alpha = 9 \cdot \frac{2\pi}{9} = 2\pi$. Радианы упрощают формулы — поэтому в высшей математике используются именно они.