Площадь поверхности сферы по объёму

Из формулы объёма $V = \frac{4}{3}\pi R^3 = \frac{32\pi}{3}$ находим радиус: $R^3 = 8$, $R = 2$. Площадь поверхности: $S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 4 = 16\pi$. Связь: $\frac{dV}{dR} = 4\pi R^2 = S$ — площадь поверхности шара есть производная объёма по радиусу. Это полезное мнемоническое правило: «увеличивая радиус на $dR$, добавляем объём $S \cdot dR$ — слой толщиной $dR$ и площадью $S$». Аналогично работает в 2D: производная площади круга $\pi R^2$ по $R$ равна длине окружности $2\pi R$.