Радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника есть удобная формула: $r = \frac{a + b - c}{2}$, где $a, b$ — катеты, $c$ — гипотенуза. Вывод: общая формула $r = \frac{S}{p}$. Подставим: $S = \frac{ab}{2}$, $p = \frac{a+b+c}{2}$. Тогда $r = \frac{ab/2}{(a+b+c)/2} = \frac{ab}{a+b+c}$. Чтобы получить вид $\frac{a+b-c}{2}$, домножим и разделим на $(a+b-c)$: числитель — $ab(a+b-c)$, знаменатель — $(a+b+c)(a+b-c) = (a+b)^2 - c^2 = a^2+2ab+b^2 - c^2 = 2ab$ (используя Пифагор $a^2+b^2=c^2$). Отсюда $r = \frac{a+b-c}{2}$. Пример $(5;12;13)$: $r = \frac{5+12-13}{2} = 2$.