Описанная окружность прямоугольного треугольника

Ключевой факт: в прямоугольном треугольнике центр описанной окружности — середина гипотенузы, и радиус равен половине гипотенузы: $R = \frac{c}{2}$. Это следствие теоремы Фалеса (или теоремы о вписанном угле, опирающемся на диаметр). Гипотенуза по Пифагору: $c = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13$. Радиус: $R = \frac{13}{2} = 6{,}5$. Проверим общую формулу: $R = \frac{abc}{4S} = \frac{5 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 30} = \frac{780}{120} = 6{,}5$ ✓ (площадь $S = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30$).