Векторы $\vec{a} = (1; 2)$ и $\vec{b} = (3; -1)$ заданы. Найдите разложение вектора $\vec{c} = (10; 5)$ по этим базисным векторам.
$\vec{c} = 4\vec{a} + 2\vec{b}$.
Ищем числа $x$ и $y$ такие, что $\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b}$. По координатам: $x + 3y = 10$, $2x - y = 5$. Из второго уравнения $y = 2x - 5$. Подставляем: $x + 3(2x-5) = 10$, $7x = 25$, $x = \frac{25}{7}$... подождём — числа странные. Проверим: подставим $x=4, y=2$: $4 + 6 = 10$ ✓, $8 - 2 = 6 \ne 5$. Не сошлось. Попробуем $x=5, y=5/3$ — не целые. Найдём правильное: $x + 3y = 10$ и $2x - y = 5$. Умножим второе на 3: $6x - 3y = 15$, прибавим к первому: $7x = 25$, $x = \frac{25}{7}$, $y = \frac{15}{7}$. Итого $\vec{c} = \frac{25}{7}\vec{a} + \frac{15}{7}\vec{b}$. Урок: разложение существует и единственно, когда базисные векторы неколлинеарны, но не всегда даёт целые коэффициенты.
Razbery — про разбор, не про списывание. Объяснение обязательно.