Сфера, вписанная в куб и описанная вокруг куба

Вписанная сфера касается всех 6 граней куба. Её центр — в центре куба, радиус равен расстоянию от центра до грани, то есть половине ребра: $r = \frac{a}{2}$. Описанная сфера проходит через все 8 вершин куба. Её центр — тоже в центре куба, радиус равен расстоянию от центра до вершины, то есть половине пространственной диагонали куба. Пространственная диагональ $d = a\sqrt{3}$ (по двукратной Пифагоре), значит $R = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Отношение $R/r = \sqrt{3}$. Пример: для $a=2$: $r=1$, $R=\sqrt{3}$. Эти формулы — фундамент для задач с шарами и кубами в ЕГЭ-стерео.