Окружность Эйлера (девяти точек)

Окружность девяти точек — замечательная окружность, существующая для любого треугольника. Через неё проходят 9 точек: 1) Середины трёх сторон. 2) Основания трёх высот. 3) Середины отрезков, соединяющих вершины с ортоцентром. Свойства: 1) Радиус окружности девяти точек равен половине радиуса описанной окружности: $R_9 = \frac{R}{2}$. 2) Её центр лежит на прямой Эйлера, посередине между ортоцентром и центром описанной окружности. 3) Окружность девяти точек касается вписанной окружности треугольника и трёх вневписанных (теорема Фейербаха). Тема для углублённого изучения и олимпиадных задач.