Объём параллелепипеда через смешанное произведение

Смешанное произведение трёх векторов $[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}] = (\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$. Геометрически его модуль равен объёму параллелепипеда, построенного на этих векторах как на рёбрах: $V = |[\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}]|$. В координатах: смешанное произведение — это определитель $3\times 3$ из координат векторов: $\begin{vmatrix} a_x & a_y & a_z \ b_x & b_y & b_z \ c_x & c_y & c_z \end{vmatrix}$. Свойства: 1) Если смешанное произведение равно нулю — векторы компланарны (лежат в одной плоскости). 2) Объём тетраэдра, построенного на этих же векторах, равен $\frac{1}{6}$ от объёма параллелепипеда: $V_\text{тетр} = \frac{1}{6}|[\vec{a},\vec{b},\vec{c}]|$.