Площадь треугольника через радиус описанной окружности

Формула: $S = \frac{abc}{4R}$, где $a, b, c$ — стороны, $R$ — радиус описанной окружности. Вывод: из теоремы синусов $\frac{a}{\sin A} = 2R$, значит $\sin A = \frac{a}{2R}$. Подставляем в формулу $S = \frac{1}{2}bc \sin A = \frac{1}{2}bc \cdot \frac{a}{2R} = \frac{abc}{4R}$. Применение: позволяет, зная стороны и площадь, найти радиус описанной окружности: $R = \frac{abc}{4S}$. Пример: для треугольника $5, 12, 13$ (прямоугольный, $S = 30$): $R = \frac{5 \cdot 12 \cdot 13}{4 \cdot 30} = \frac{780}{120} = 6{,}5 = \frac{13}{2}$ — половина гипотенузы, как и должно быть в прямоугольном треугольнике.