Описанный четырёхугольник

Теорема: в выпуклый четырёхугольник $ABCD$ можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны: $AB + CD = BC + AD$. Прямое доказательство: если окружность вписана, обозначим точки касания и используем, что отрезки касательных из одной вершины равны. Получим, что обе суммы равны $2 \cdot (\text{сумма всех касательных от одной пары вершин})$. Пример: ромб всегда можно вписать ($a+a = a+a$), а прямоугольник — только если он квадрат. Площадь описанного многоугольника: $S = p \cdot r$, где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.