Вписанный в окружность четырёхугольник

Теорема: четырёхугольник $ABCD$ можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда $\angle A + \angle C = 180^\circ$ (а значит, и $\angle B + \angle D = 180^\circ$). Прямое утверждение легко доказать: если четырёхугольник вписан, то $\angle A$ опирается на дугу $BCD$, $\angle C$ — на дугу $BAD$, их сумма равна $\frac{1}{2}(BCD + BAD) = \frac{1}{2} \cdot 360^\circ = 180^\circ$. Обратное доказывается от противного. Следствие: прямоугольник можно вписать в окружность (все углы $90^\circ$), а параллелограмм в общем виде — нельзя (если он не прямоугольник).