Теорема о произведении отрезков хорд

Пусть хорды $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $M$. Тогда $AM \cdot MB = CM \cdot MD$. Доказательство через подобие: рассмотрим треугольники $AMC$ и $DMB$. У них $\angle AMC = \angle DMB$ (вертикальные), $\angle CAM = \angle BDM$ (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $BC$). Значит, треугольники подобны, и $\frac{AM}{DM} = \frac{CM}{BM}$, откуда $AM \cdot MB = CM \cdot MD$. Эта величина называется степенью точки $M$ относительно окружности. Аналог для секущей и касательной: $MT^2 = MA \cdot MB$, где $MT$ — касательная, $MAB$ — секущая.