Свойство биссектрисы угла треугольника

Пусть $AD$ — биссектриса угла $A$ треугольника $ABC$, $D \in BC$. Тогда $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$. Доказательство (одно из): через точку $C$ проведём прямую, параллельную $AD$, до пересечения с прямой $AB$ в точке $E$. Тогда углы $\angle BAD = \angle AEC$ (соответственные) и $\angle DAC = \angle ACE$ (накрест лежащие). Так как $AD$ — биссектриса, $\angle BAD = \angle DAC$, поэтому $\angle AEC = \angle ACE$, и треугольник $AEC$ равнобедренный: $AE = AC$. По теореме Фалеса (или подобию) $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AE} = \frac{AB}{AC}$. Пример: если $AB=6$, $AC=4$, $BC=10$, то $BD = 6$, $DC = 4$.