Расстояние от точки до плоскости

Question

Запишите формулу расстояния от точки $M(x0; y0; z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$.

Accepted Answer

$d = \frac{|A x0 + B y0 + C z0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$. — Эта формула — аналог планиметрической $d = \frac{|Ax0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ (расстояние от точки до прямой). Идея: вектор нормали $\vec{n} = (A; B; C)$ перпендикулярен плоскости; берём произвольную точку $P$ плоскости и проектируем $\vec{PM}$ на $\vec{n}$. Длина проекции и есть расстояние. Пример: расстояние от $M(1;2;3)$ до плоскости $2x - y + 2z - 4 = 0$: $d = \frac{|2 - 2 + 6 - 4|}{\sqrt{4+1+4}} = \frac{2}{3}$. Это базовая формула для задач 14 ЕГЭ-профиля.

Расстояние от точки до плоскости

1 ответ

Дать ответ