Как пишется НЕ с глаголами и деепричастиями?

Основное правило: НЕ с глаголами и деепричастиями пишется раздельно.

• не был, не пришёл, не зная, не думая

Исключения — пишем слитно, когда слово без НЕ не существует:

• негодовать, недомогать, невзлюбить, ненавидеть, недоумевать
• деепричастия от них: негодуя, ненавидя, недоумевая

Особый случай — приставка НЕДО- (значение «недостаточно, не до конца»): пишется слитно.

• недосыпать (мало спать), недооценивать
• сравните: не досмотреть фильм (не закончил) — недосмотреть за ребёнком (плохо следил)

Производный предлог «несмотря на» пишется слитно: Несмотря на дождь, мы пошли гулять. Не путать с деепричастием: Не смотря под ноги, он споткнулся (= не глядя).

Проверка: если можно подставить «глядя» — это деепричастие (раздельно); если значение «вопреки» — предлог (слитно).