Найдите наименьшее значение $f(x) = x + \dfrac{9}{x}$ при $x > 0$

Способ 1 (через производную). $f'(x) = 1 - \dfrac{9}{x^2}$. Приравниваем к нулю: $x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ (берём положительный корень из условия).

Знаки: при $x \in (0; 3)$: $f' < 0$ (убывает), при $x > 3$: $f' > 0$ (возрастает). Значит $x = 3$ — точка минимума: $f(3) = 3 + 3 = 6$.

Способ 2 (неравенство о средних). Для положительных $a, b$ справедливо $a + b \ge 2\sqrt{ab}$ с равенством при $a = b$.

Здесь $a = x$, $b = 9/x$, тогда $a + b \ge 2\sqrt{9} = 6$. Равенство при $x = 9/x \iff x = 3$.

Лайфхак: неравенство о средних — мощный инструмент для оценки сверху/снизу сумм положительных слагаемых, особенно когда произведение постоянное.